Из выражений (1.10.5) и (1.10.6) следует, что

(1.10.7)

Чтобы дать наглядное представление о функции вводят в рассмотрение так называемое пространство скоростей, по трем осям которого откладываются значения проекций υ_x,υ_y, υ_z скорости каждой молекулы. В пространстве скоростей каждой молекуле, имеющей проекции υ_x,υ_y,υ_z , будет соответствовать точка, совпадающая с концом век­тора скорости молекулы, проведенного из начала координат. Тогда ясно, что представляет собой число скоростных точек которые попали в элементарный объем , лежащий около точки с координатами (рис.10), а отношение этого числа к объему dV дает значение плотности их в точке с координатами υ_x,υ_y, υ_z. Таким образом, на основании (1.10.7), представляет собой объемную плотность вероятности скоростных точек.

Функция для равновесного состояния не зависит от времени. Также эта функция не может зависеть от направления вектора скорости молекул, определяемого проекциями υ_x,υ_y,υ_z , т.к. в состоянии равновесия все направления равновероятны. Она может за­висеть только от длины вектора скорости, т.е. , где .

Наряду с введенными функциями φ и f, рассмотрим распределе­ние молекул F(υ) по абсолютной величине скорости. Распределение F(υ) определяется вероятностью того, что величина скорости молекулы заключена в пределах от υ до υ+dυ независимо от направления, т.е.

, (1.10.8)

где - число молекул, величина скорости которых находится в интервале ( υ , υ+dυ)

Функции F(υ) и f(υ) жестко связаны друг с другом.Для определения этой связи обратимся к пространству скоростей. Очевидно, в этом пространстве число скоростных точек, попадающих в шаровой слой между сферами радиусов υ и υ+dυ, объем которого равен , равно . Число же точек в единице объема пространства скоростей, согласно (1.10.7), равно Nf(υ). Поэтому число скоростных точек в объеме dV₁

(1.10.9)

Подставив из выражения (1.10.9) в (1.10.8), получим требуемую связь:

(1.10.10)

Далее Максвелл предположил, что события, заключающиеся в попадании проекций υ_x,υ_y,υ_z скорости данной молекулы в интервалы (υ_x , υ_x+dυ_x), (υ_y , υ_y+dυ_y) и (υ_z , υ_z+dυ_z) соответственно, явля­ются независимыми событиями. Тогда, согласно теореме умножения, совместная вероятность этих событий равна произведению их вероятностей, т.е.

(1.10.11)

,

На основании формул (1.10.6) и (1.10.4), равенство (1.10.11) можем переписать в виде:

(1.10.12)

Разделив обе части (1.10.12) на и учитывая, что , получим

(1.10.13)

Прологарифмируем последнее равенство

(1.10.14)

Дифференцируя выражение (1.10.14) но компоненте скорости υ_x , получим

(1.10.15)

Учитывая, что , производная

(1.10.16)

Это позволяет записать соотношение (1.10.15) в виде

(1.10.17)

Аналогичные выражения могут быть получены при дифференцировании (1.10.14) по двум другим компонентам скорости

υ_y и υ_z:

(1.10.18)

(1.10.19)

Правые части этих равенств равны друг другу, т.к. левые части их одинаковы. Правая часть (1.10.17) не зависит от υ_х и υ_z. Значит, от них не зависит и левая часть. Аналогично, правая часть (1.10.18) не зависит от υ_y и υ_z, откуда следует независимость и левой части от этих величин. Но тогда и правая часть (1.10.17) не зависит от υ_х . Это возможно только в том случае, если

(1.10.20)