Умножим обе части (1.10.20) на υхd υх . В результате будем иметь

(1.10.21)

или

(1.10.22)

Интегрируя, получаем

(1.10.23)

Откуда находим

(1.10.24)

Из-за равной вероятности направлений движения молекул точно такой же вид имеют функции и . Для нахождения двух постоян­ных С и С₂, необходимо располагать двумя уравнениями для искомой функции . Первое уравнение - это условие нормировки плотности вероятности :

(1.10.25)

Второе уравнение – это связь средней кинетической энергии поступательного движения молекулы с температурой:

(1.10.26)

Как было выяснено ранее, очень большие скорости моле­кул должны быть маловероятными. Это возможно только в том случае, если постоянная в формуле (1.10.24) отрицательна, т.е. С = - С₁ (С₁>0) . Поэтому (1.10.24) примет вид:

(1.10.27)

В выражении (1.10.25) максимально возможная проекция на ось Х скорость молекул, находящихся при температуре T, положена равной бесконечности, что физически нереально. Однако увеличение интервала интегрирования сверх некоторой максимальной скорости не приведет к заметной ошибке ввиду того, что функция (1.10.27) быстро убывающая.

Подставляя (1.10.27) в (1.10.25) и интегрируя (см. формулу (С.2) Приложения С), получим

(1.10.28)

Откуда находим и, следовательно,

(1.10.29)

Чтобы воспользоваться равенством (1.10.26) для нахождения постоянной С₁ учтем, что

, (1.10.30)

так как ввиду равновероятности направлений движения молекул = = . Поэтому достаточно вычислить средний квадрат одной из компонент скорости (см. (С.3) Приложения С):

(1.10.31)

Используя формулы (1.10.31), (1.10.30) и (1.10.26) , находим

(1.10.32)

Подстановка постоянной (1.10.32) в (1.10.29) дает:

(1.10.33)

Точно такие же формулы будут справедливы и для других проекций скорости молекул. Поэтому функция (1.10.13)

, (1.10.34)

а функция распределения по абсолютным значениям скорости (1.10.10)

(1.10.35)

Как это мы уже отмечали при выводе распределений (1.10.32 –1.10.34) по скоростям, Максвеллом было сделано предположение: проекции скорости молекул статистически независимы. Это предположение им не было доказано или обосновано. В дальнейшем американским физиком – теоретиком Гиббсом Д. было доказано, что условие независимости компонент скорости имеет место тогда, когда кинетическая энергия квадратична по компонентам импульсов; последнее справедливо всегда, за исключением случая релятивистских скоростей частиц.

Очень важно отметить, что при доказательстве распределения Максвелла (1.10.32 –1.10.34) не делалось никаких предположений относительно структуры молекул, взаимодействия между ними, поэтому они справедливы не только для жидкостей, для твердых тел и, даже, для броуновских частиц, если для них возможно классическое описание.

Как доказывается в статистической физике, классический способ изложения применим, если температура Т равновесного состояния системы частиц значительно больше, так называе­мой температуры вырождения T_B , т.е.

, (1.10.36)

где h и k - постоянные Планка и Больцмана, m₀ - масса частицы, n - концентрация частиц.

Система частиц, находящаяся при температуре T < T_B , называют вырожденной. К этой системе частиц применимо только квантовое рас­смотрение, которое приводит к распределению по скоростям (энергиям) существенно отличному от Максвелловского.

В качестве примера вычислим температуру вырождения для электронного газа в металлах, находящихся при нормальных условиях. Как из­вестно, при этих условиях число свободных электронов в 1м³ огром­но и имеет порядок 10 ²⁹Z, где Z - валентность металла. Вычисления по формуле (1.10.36) дают T_B ~10⁴K. При выполнении условия (1.10.36) металлы будут находиться в газообразном состоянии. Поэтому при условиях близким к нормальным электронный газ в метал­лах является вырожденным и к нему статистика, Максвелла непримени­ма, она, как доказывается в квантовой физике должна быть заменена на статистику Ферми -Дирака.

В качестве второго примера рассмотрим водород, который при нормальных условиях имеет концентрацию n₀=2,7·10²⁵м ^–3. Вычисления по формуле (1.10.36) дают T_B = 0,06K. Так как все газы при нормальных условиях имеют одну и ту же концентрацию n₀=2,7·10²⁵м ^–3, а массу молекул большую, чем масса молекулы водорода, то условие (1.10.36) будет выполнено и, таким образом, ко всем газам применима статистика Максвелла. Более того, непосред­ственным расчетом нетрудно показать, что к некоторым газам (углекислый газ, воздух, азот и др.), находящемся при низких температу­рах Т в жидком или твердом состоянии распределение скоростей поступательного движения молекул, определяемые формулами (1.10.33 – 1.10.35) можно применять, т.е. в этом случае условие (1.10.36) будет выполнено.