- •1. Особенности больших систем.
- •3. Понятие модели, типы и виды моделей.
- •Процесс исследования проектируемых систем методом моделирования
- •6. Знаковые ориентированные графы.
- •7. Адекватность модели
- •8. Смо. Общее описание. Потоки событий
- •9. Свойства потоков. Простейший поток. Вывод уравнений Колмогорова
- •11.Правило составления дифференциальных уравнений колмагорова
- •12.Описание простейшей системы с отказами
- •13. Процессы гибели размножения. Математическое описание.
- •14. Общая структура смо…. См вопрос №9
- •18. Вывод формул Литтла.
- •19. Уравнение колмагорова для процесса гибели-размножения
- •20. Вывод соотношений для Процесса гибели – размножения.
- •21.Канонический метод построения алгоритмов моделирования смо
- •22. Метод сигнальных графов при моделировании систем.
- •23.Преобразование сигнальных графов.
- •24. Формула Мэзона Для сигнальных графов
- •25.Применеие формулы Мезона для решения слау
- •27.Неэргодические (поглощающие) цепи Маркова. Описание с помощью сигнальных графов.
- •29. Когнитивные карты (идена)
- •[Править]Когнитивное моделирование
- •30. Генераторы псч в имитационном моделировании. Свойства, примеры. Проверка качества.
- •31.Статическая обработка результатов Имитационного моделирования
- •Математическое ожидание
- •Определения
- •Определение
- •Определение
- •33. Потоковые модели потоковые модели
- •34. Понятие доверительно интервала.
- •35. Исследование эффективности систем на основе теории полезности. Аксиоматика.
- •36. Экстремальные задачи теории полезности. Метод множителей Лагранжа.
- •38. Модели систем в виде сетей Петри.
- •39. Правила выполнения переходов в сети Петри. Основные задачи моделирования.
- •43. Непрерывные потоковые модели (наверно в. 33 тока непрерывные)
- •44 Модель Солоу-Рамсея
- •[Править]Мультипликативная производственная функция
- •[Править]Условия модели
- •6.1. Оценка вероятности
- •6.4. Оценка дисперсии.
13. Процессы гибели размножения. Математическое описание.
Марковский процесс с дискретными состояниями называют процессом гибели – размножения, если он имеет размеченный граф состояний следующего вида:
Т.е. каждое из состояний системы связано с двумя соседними состояниями прямой и обратной связью, крайние состояния имеют только по одному соседнему.
Здесь lij – плотность вероятности перехода системы из состояния Si в состояние Sj в момент времени t.
Эта плотность находится по формуле: , где Δt – время перехода из одного состояния в другое.
14. Общая структура смо…. См вопрос №9
15.N-канальная СМО с отказами. Основные соотношения.
Рассмотрим на примере 2 канальной системы с 2 местами в очереди.
S0 – система в режиме ожидания
S1 –1 канал занят, очереди нет
S2 – 2 канала занято , очереди нет
S3 – 2 канала занято , 1 в очереди
S4 – 2 канала занято , 2 в очереди
Лямбда – интенсивность поступления заявок, Время обслуживания Тобс = 1/Мю
- приведенная интенсивность (кол-во заявок приходящих в систему в реднем за среднее время обслуживания одной заявки)
Pотказа =
Относительная пропускная способность: Q = 1 - Pотказа
Среднее число занятости канала:
P1 = P0; P2 = ; P3 =
Lсист = ; Lоч =
- среднее время нахождения заявки с системе, и среднее время в очереди (tоч)
tсист и tоч – формулы Литтла
число занятых каналов :
17.Вывод формулы Эрланга
Рассмотрим систему, которая может обслуживать одновременно m требований. Будем считать, что имеется m линий и очередное требование поступает на одну из линий, если хотя бы одна из них свободна; в противном случае поступающее требование получает отказ и уходит из сферы обслуживания.
Предположим, что поток требований является пуассоновским с параметром , требования обслуживаются независимо и время обслуживания каждого требования (на каждой из m линий) распределено по показательному закону с параметром .
Рассмотрим состояния k=0,1,…,m, где состояние k означает, что занято ровно k линий.
Переход системы из состояния в состояние с течением времени t представляет собой марковский процесс, плотности перехода которого имеют вид
Действительно, переход из k в k+1 осуществляется при поступлении очередного требования, что происходит за время с вероятностью .
Вероятность того, что ни одна из k занятых линий не освободится за время , есть (поскольку линии обслуживаются независимо одна от другой) и вероятность освобождения одной из линий, т.е. перехода из состояния k в k-1 есть .
Вероятность других изменений в системе за промежуток времени есть .
Стационарные вероятности могут быть найдены из уравнений:
Из этих уравнений получаем, что
Найденные выражения для стационарных вероятностей называются формулами Эрланга.
18. Вывод формул Литтла.
Выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного стационарного режима) среднее число заявок Lсист, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе Wсист.
Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею 2 потока событий:
поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО.
Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность λ.
Обозначим: Х(t)—число заявок, прибывших в СМО до момента t,
Y(t) — число заявок, покинувших СМО до момента t.
Рис.1 Траектории X(t) и Y(t)
И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты приходов заявок (X(t)) и уходов заявок (У(t)). Вид функций X(t) и У(t) показан на рис.1; обе линии — ступенчатые, верхняя — X(t), нижняя — Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z(t) = Х(t) —Y(t) есть не что иное, как число заявок, находящихся в СМО. Когда линии X(t) и У(t) сливаются, в системе нет заявок.
Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чертежа) и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:
Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис.1. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t1, t2 ,... Правда, в конце промежутка Т некоторые прямоугольники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли. Таким образом, можно считать, что
, где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.
Разделим и умножим правую часть на интенсивность λ: .
Но величина Т λ есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен t на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wсист. Итак, L= λ W, откуда Wсист = Lсист / λ. (1)
Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.
Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди Wоч и среднее число заявок в очереди Lоч: Wоч =Lоч / λ.
Для вывода достаточно вместо нижней линии из рис.1 взять функцию U(t) — количество заявок, ушедших до момента Т не из системы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет под обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находится в ней нулевое время).
Формулы Литтла играют большую роль в теории массового обслуживания.