- •1Опред., св-ва и прим. Вект-х пр-в.
- •2Лин-я зависимость системы векторов.
- •3Базис лин. Пр-ва, размерность. Коорд-ты.
- •4. Матрич.Запись коо вект-в, изм. Коо при замене базиса
- •5.Подпространство векторного пространства.
- •6. Изоморфизм векторных пространств, универсальный пример конечномерного векторного пространства
- •7. Линейный оператор, примеры, свойства.
- •8.Матрица лин. Оп-ра. Изменение матр. Оп-ра при замене базиса.
- •9. Действия над лин. Оп-ми. Матр. Суммы и произвед. Лин. Оп-ров.
- •10.Обратный лин. Оператор его матрица
- •11.Собственные векторы л.О., собств. Значения, характерист. Уравнение.
- •12.Правило нахождения собств. Векторов и собств. Значений
- •13 Модель бездефецитной торговли
- •14 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
- •15 Евклидовы пространства. Определение, примеры
- •22. Симметричные матрицы и их св-ва. Приведение симметр. Матрицы к диаг. Виду.
- •23. Сопряж. Операторы и их св-ва.
- •24. Оператор наз-ся самосопряж., если .
- •28. Билинейная форма, ее матрица, изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.
- •29. Квадратичная форма и ее матричная запись.
- •30. Изменение матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных, канонический вид квадратичной формы.
- •31. Приведение квадратичной формы к каноническому виду, закон инерции для квадратичных форм.
- •32. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
- •33. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
5.Подпространство векторного пространства.
Лин.подпр-вом Х лин.пр-ва L над Pназ-ся мн-во эл-в пр-ва L,котор. Само явл-ся лин. пр-вом с опред-ми внутр. и внеш. операциями. Пример:L=C, P=R и L=R
Т.X L, где Х – подпро-во пр-ва L над P,
Док-во Лин.оболочкой вект-в (a1,..,an ) (1) лин пр-ва L наз-ся мн-во Вект. (1) наз-ся системой образующих
Т. лин. Оболочка сист. вект.(1) явл-ся линейным подпр-вом пр-ва L, разменр-ть этого подпр-ва = числу лин.независим-х вект-в, содержащихся в (1).
Док-во Пусть L-лин пр-во над P и X1,X2 – лин.подпр-ва. Опр1. Объединением подпр-в X1,X2 наз-ся мн-во эл-в пр-ва L, кот. как подпр-ву X1, так и X2. Опр2. Суммой подпр-в X1, X2 наз-ся мн-во вект-в z=x+y, таких, что x X1 и y∈ X2 Опр3. Прямой суммой 2-х подпр-в X1, X2 наз-ют сумму 2- подпр-в, если их пересечение содержит только нейтр. Эл-ты. Аналогичным обр-ом можно опр-ть объединение, сумму и прям. Сумму любого конечн. мн-ва лин. подпр-в.
Т.1. Объед. И сумма 2-х лин. Подпр-в явл-ся также лин. Подпр-вом.
Т.2. dim(X1+X2)=dim X1+dim X2-dim(X1∩X2)
6. Изоморфизм векторных пространств, универсальный пример конечномерного векторного пространства
2 лин. пр-ва L1 L2 наз-ся изоморфными, если сущ-ет невырожденный лин. Оператор f:L1->L2
Св-ва изоморфизма:
Рефлексивность: L1~L2
Симметричность: L1~L2 ,L2~L2
Трансзитивность: L1~L2, L2~ L3 => L1~ L3
Т. Конечномерн. лин. пр-ва L1 и L2 изоморфны т и т.т, если они имеют одинаковую размер-ть
Вообще говоря, можно измерить n-мерные пр-ва Pn, сост-е из набора n-чисел и соот-но все св-ва будут переноситься на любое n-мерное пр-во.
7. Линейный оператор, примеры, свойства.
Лин. оп-ром , где L и L’ – два лин. пр-ва над одним и тем же полем Р наз-ся отображение, удовлетворяющее след. услов.: 1)
Усл. 1) и 2) можно заменить одним: .
Прим.1.
1) , , ,
Прим.2. Тождественн. лин. оп-р.
Прим.3.
- мн-во непрер. на отрезке функц.
D: - оп-р диф-я D будет лин. (выполн-ся два услов.)
Прим.4. - пр-во трехмерных свободн. векторов.
- лин. оп-р проектирования векторов на ось
= .
Св-ва лин. оп-ров:
1. лин. оп-р преобразует нейтральный элем. пр-ва в нейтрал. элем. пр-ва (
2. лин. оп-р преобразует лин.зависим. вект. в лин. зависим.
Т. Если - (1) базис в пр-ве Ln и –(2) некоторый набор элем. в пр-ве , тогда сущ-т единственный лин. оп-р такой, что
8.Матрица лин. Оп-ра. Изменение матр. Оп-ра при замене базиса.
- преобразователь пр-ва. Пусть - базис (1)
(2)
[
(2’)
Матр. А, удовлетворяющая рав-ву (2’) наз-ся матр. лин. оп-ра в базисе (1).
Матр. лин. оп-ра в баз. (1) – матр., столбцами которой явл-ся коорд. столбцы образов базисных вект. в этом же баз.
Рассмотрим мн-во всех лин. оп-ров, кот. действуют из . Каждому лин. оп-ру ставится в соответств. в заданн. баз. некоторая матр. М. В данном баз. можно установить взаимнооднозначн. соответств. между матриц., действующ. из .
Связь между коорд. вект. и его образом в заданн. баз.
. Пусть , где - коорд. столб.
[
= = .
Изменение матр.лин. оп-ра при измен. баз. Пусть (1) и (2)- два базиса в пр-ве . и - соотв. матр. оп-ра в соотв. баз. (1) и (2), тогда
. (3)
Матр. и , связанные рав-вом (3), где Т- невырожд. матр., наз-ся подобными.
Т.2. Подобные матр. имеют равные определители.