9. Действия над лин. Оп-ми. Матр. Суммы и произвед. Лин. Оп-ров.

Пусть f, g- лин. оп-ры, действ. из над полем Р.

Сумма f и g- оп-р такой, что

Произведение лин. оп-ра f на λ- оп-р такой, что

Произведение f и g- оп-р h=gf такой, что hx=g(fx).

Т.1. Сумма двух оп-ров, произвед. оп-ра на число, произвед. двух оп-ров – лин. оп-ры.

Т.2. Если А и В – матр. лин оп-ров f и g в одно и том же базисе, то матр. оп-ров , , имеют вид соотв. А+В, А, ВА в этом же баз.

Т.3. Мн-во всех лин. оп-ров, действ. из образует лин. пр-во.

Из опр. и Т.1 след., что на мн-ве лин оп-ров, действ. из определены внутр. и внеш. операции. Необходимо проверить выполнение всех восьми аксиом лин. пр-ва.

10.Обратный лин. Оператор его матрица

Единичный (тождественный) оператор I действует по правилу I(x) = x ∀x ∈ V.

Л.О.(Лин.Оператор) A⁻¹ называется обратным по отношению к Л.О. A, если A^хA⁻¹ = A⁻¹ хA = I (или можно Е). Теорема1. Л.О. A имеет обратный тогда и только тогда, когда detA= 0(матрица невырожденная). М-ца обр-го оператора A⁻¹ явл-ся обр-ной по отношению к м-це оператора A (в одном и том же базисе).Теорема2.  Оператор А^-1, обратный к лин. оператору, также линеен.Теорема3. Всякому невыр-му оператору можно найти обратный. Если A - матрица оператора f в некотором базисе, то оператор f ^-1 в том же базисе имеет матрицу А^-1 .

11.Собственные векторы л.О., собств. Значения, характерист. Уравнение.

Пусть f:L_n->L_n . Опр. Ненулевой вектор х L_n наз-ся собственным вектором оператора f, если fx=λx(1), где λ–некоторое число (λ P), то λ наз-ся собственным значением. Св-ва:1)Всякому собств. вектору отвечает одно собств. значение.2)Собств. векторы, отвечающие собственным значениям лин. независимы.3)Мн-во всех собств. векторов, отвечающих одному собств. значению, дополненное нулевым вектором, образует лин-ые подпространства пространства Z_n.  Если в некотором базисе оператор f  имеет матрицу А и в том же базисе вектор x имеет коорд. столбец X, то AX= λX или (A- λE)X=0. Можно записать в матричной форме: , где - матрица-столбец из коорд. вектора . Характ-им многочленом  оператора  f:L_n->L_n  называется характеристический многочлен (x_f(t)=det(tE-A_f)) его матрицы в некотором базисе. Характ-кий мн-н лин. оператора f не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. Уравнение X_f(t)=0  называется характ-ким уравнением оператора f.Хар. ур-ние:(-1)ⁿλⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+ a₀=0 - Многочлен в левой части уравнения называется характ-ким мн-м. Характ. многочлен явл-ся многочленом n-ой степени. Теорема. Подобные матрицы имеют один и тот же характ. многочлен.

12.Правило нахождения собств. Векторов и собств. Значений

Выберем некоторый базис e₁,e₂,e₃,…,e_n (1), тогда в этом базисе оператор f будет иметь некоторую матрицу А, и Х–координатный столбец вектора. Тот факт, что х–собств. значения, а –собств. вектор оператора f, то АХ= λХ; (А– λE)X=0 (2). Система (2)–система линейных однородных уравнений. Det(A– λE)=0 (3). Решив ур-ние (3), получим характерист. числа матрицы А. Для нахождения собств. векторов, решим систему:

(A- λE)X=0 .