- •1Опред., св-ва и прим. Вект-х пр-в.
- •2Лин-я зависимость системы векторов.
- •3Базис лин. Пр-ва, размерность. Коорд-ты.
- •4. Матрич.Запись коо вект-в, изм. Коо при замене базиса
- •5.Подпространство векторного пространства.
- •6. Изоморфизм векторных пространств, универсальный пример конечномерного векторного пространства
- •7. Линейный оператор, примеры, свойства.
- •8.Матрица лин. Оп-ра. Изменение матр. Оп-ра при замене базиса.
- •9. Действия над лин. Оп-ми. Матр. Суммы и произвед. Лин. Оп-ров.
- •10.Обратный лин. Оператор его матрица
- •11.Собственные векторы л.О., собств. Значения, характерист. Уравнение.
- •12.Правило нахождения собств. Векторов и собств. Значений
- •13 Модель бездефецитной торговли
- •14 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
- •15 Евклидовы пространства. Определение, примеры
- •22. Симметричные матрицы и их св-ва. Приведение симметр. Матрицы к диаг. Виду.
- •23. Сопряж. Операторы и их св-ва.
- •24. Оператор наз-ся самосопряж., если .
- •28. Билинейная форма, ее матрица, изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.
- •29. Квадратичная форма и ее матричная запись.
- •30. Изменение матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных, канонический вид квадратичной формы.
- •31. Приведение квадратичной формы к каноническому виду, закон инерции для квадратичных форм.
- •32. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
- •33. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
13 Модель бездефецитной торговли
Пусть n стран торгуют между собой. Обозначим через нац-ный доход i-той страны; – это часть нац. дохода, которую j-тая страна тратит на закупку товаров из i-той страны. + + … + =
= - это доля нац. дохода j-той страны, кот-я тратится на закупку товаров в i-той стране. = 1
C элементами составим матрицу:А = – структурная матрица международной торговли
Сумма элементов по столбцам равна 1
Сумма элементов по строкам: + + … + = – все то, что покупают у i-той страны => выручка i-той страны в этой торговле.
. не может быть больше, чем (доход)
=> АХ = Х Х =
Для бездефицитности торговли нац. доходы стран должны быть коорд-ми собственного вектора структурной матрицы с собственным значением .
14 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
TH М-ца лин. оператора имеет диаг-ный вид только в том случае, если сущ-ет базис в пр-ве из собственных векторов этого оператора. М-ца лин. оператора в базисе из собственных векторов – диаг-ная.
Док-во: Пусть сущ-ет базис , … , из собственных векторов f ( ) =
A =
f ( ) = следовательно, сущ-ет базис из собственных векторов.
Ч.Т. Д Пусть матрица А – м-ца лин. оператора f задана в некотором базисе , … , и пусть сущ-ет базис из собственных векторов , …, в этом базисе А’ – диаг-я, выразим векторы базиса [е'] через векторы базиса [е]
[е'] = [е] Т, где Т - м-ца перехода. Поэтому у м-цы Т столбцы – координаты собственных векторов, выраженные в базисе [е].
A’ = T-1 A T
Это соотношение дает правило приведения матрицы линейного оператора к диаг-му виду, если у него сущ-ет базис из собственных векторов.Если все характ-кие числа м-цы лин. оператора различны и пренадлежат полю Р, то его м-ца может быть приведена к диаг-му виду
Пусть - собственное значение кратности к больше 1. (А – Е) Х = 0 эта система бедет иметь ФСР состоящую из к в том случае, если ранг матрицы rank (А – Е) = n – k
TH Если характ-кие числа м-цы А = 1 … n кратности к1 … кn (к1 + … + кn = n) при этом rank (А – Е) = n – I I = 1.... n, то сущ-ет невыр-я м-ца Т, такая что A’ = T-1 A T имеет диаг-ный вид.
Правила приведения матрицы к диагональному виду:
Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе. Находим ее характеристические числа и определяем их кратность
Проверим, все ли характеристические числа пренадлежат полю Р, если нет, то матрица не приводится к диагональному виду; если да, то следующий шаг
Проверяем условие (А – i Е) = n – I , если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то матрица не может быть приведена к диагональному виду; если все выполняются, то следующий шаг
Находим матрицу перехода от данного базиса к базису из собственных векторов, для этого решаем систему (А – Е) Х = 0
Строим матрицу А', у которой на главной диагонали стоят собственные значения оператора f , при этом каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность, все остальные элементы 0
Строим матрицу Т перехода, в которой столбцами являются координаты собственных векторов, при том располагаются они в соответсвии с расположением собственных значений матрицы А'