55. Линейные уравнения порядка выше первого. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.

Общие понятия.

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

; (9)

Если старший коэффициент отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая (9) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1: ; (10)

; дальше мы будем рассматривать уравнение (10).

Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида ; (11)

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (10) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (10) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (a;b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (10). (см вопрос 68)

Линейный дифференциальный оператор и его свойства.

Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую производных, в функцию, имеющую k - n производных: (12)

С помощью оператора Ln(y) неоднородное уравнение (10) можно записать так:

Ln(y) = f(x); (24)

однородное уравнение (11) примет вид

Ln(y) = 0; (25)

Теорема. Дифференциальный оператор Ln(y) является линейным оператором.

Док-во непосредственно следует из свойств производных:

1. Если C = const, то

2.

56. Свойства решений однородного и неоднородного линейного уравнения порядка выше первого.

- ЛОУ

- решения ЛОУ

т.к => то любая линейная комбинация решений будет решением ЛОУ.

Док-во: Пусть есть такие c1,c2,...,cn=const, что можно записать

Чтобы последовательность была решением ЛОУ необходимо, чтобы

;

Неоднородные ур-я:

1) Если - решения ЛНУ, то - решение ЛОУ.

Дано:

Док-ть

Док-во

2)Если к любому общему решению ЛОУ добавить частное решение ЛНУ, то получим общее решение ЛНУ.

Дано

Док-ть

Док-во

57. Линейная зависимость функции в промежутке. Понятие фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.

Пусть на (a,b) заданы функции , эти функции - линейно зависимы на (a,b), если равенство выполняется тогда и только тогда, когда среди коэффициентов c1,c2,...,cn, существует Ck≠0. Если же равенство выполняется, только тогда когда , то функции - линейно независимы.

Если среди функций находится нулевая функция, - ЛЗ функции.

Если система функций ЛЗ, то при расширении (a,b) ЛЗ может нарушаться, а при уменьшении (a,b) нет.

Если система ЛНЗ, то при расширении промежутка ЛНЗ сохраняется, а при уменьшении - нарушается.

Понятие фундаментальной системы решений ЛОУ.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система его n частных решений.

58. Определитель Вронского и его свойства.

Рассмотрим ЛОУ.

- какие-то решения ЛОУ.

Определителем Вронского (вронскиан) называется W(x)=

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во. Если функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа c1,c2,...,cn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

для .

Продифференцируем по x равенство n - 1 раз и составим систему уравнений:

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно c1,c2,...,cn. Определитель этой системы - определитель Вронского W(x).

При эта система имеет нетривиальное решение c1,c2,...,cn, следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при , т.е.W(x) на (a, b).

Теорема Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Док-во:

Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W( ) является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C1, C2, …, Cn. Рассмотрим линейную комбинацию функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с этими коэффициентами C1, C2, …, Cn:

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).

Эта функция удовлетворяет уравнению и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x0, т.е. является решением задачи Коши

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) = 0 для . Таким образом, система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Теорема. Если определитель Вронского W(x) системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию .

Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:

Теорема. Если W(x) - определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).