- •54. Уравнения порядка выше первого: случай понижения порядка.
- •55. Линейные уравнения порядка выше первого. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.
- •56. Свойства решений однородного и неоднородного линейного уравнения порядка выше первого.
- •57. Линейная зависимость функции в промежутке. Понятие фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.
- •58. Определитель Вронского и его свойства.
- •59. Существование фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.
- •60. Структура общего решения линейного (однородного и неоднородного) дифференциального уравнения порядка выше первого.
- •61. Метод вариации произвольных постоянных для линейных дифференциальных уравнений второго порядка (Метод Лагранжа).
- •62. Метод вариации произвольных постоянных для линейных дифференциальных уравнений порядка выше второго.
- •63. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай различных вещественных корней.
- •64. Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай различных вещественных корней характ-го уравнения. Линейная независимость решений.
- •65.Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай совпадающих вещественных корней характер-го уравнения. Линейная независимость решений.
- •66. Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней характер-го уравнения. Линейная независимость решений.
- •67. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше первого. Неоднородное уравнение со специальной правой частью.
- •I случай:
- •II случай:
- •III случай:
- •1 Случай.
- •2 Случай.
- •69. Редукция нормальной системы ду к одному уравнению высшего порядка.
- •70. Редукция одного уравнения высшего порядка к нормальной системе уравнений первого порядка.
- •71. Матричная форма записи нормальной системы линейных ду первого порядка. Вывод характеристического уравнения для однородной системы с постоянными коэффициентами.
- •2 Случай:
- •3 Случай:
59. Существование фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.
Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.
Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю
Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения n задач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя:
Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.
60. Структура общего решения линейного (однородного и неоднородного) дифференциального уравнения порядка выше первого.
Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).
Док-во. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение yчо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа
и найдём постоянные C1, C2, …, Cn как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений:
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C1, C2, …, Cn и сравним её с функцией yчо(x).
Функции y(x) и yчо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x0, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + … + Cn yn(x). Теорема доказана.
Терема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью
(1)
равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения
(2)
и частного решения неоднородного уравнения
Док-во:
Мы должны доказать, что если известно частное решение неоднородного уравнения (1), то любое его другое частное решение может быть получено по формуле
при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Так как и , и - решения неоднородного уравнения (1), то и , следовательно, по линейности оператора Ln(y),
Функция удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn: . Таким образом, , что и требовалось доказать.