69. Редукция нормальной системы ду к одному уравнению высшего порядка.

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. Техника этого метода основана на следующих соображениях.

Пусть задана нормальная система

(1).

Продифференцируем по x любое, например первое, уравнение:

Подставив в это равенство значения производны х из системы (1) получим

,

или

Продифференцировав полученное равенство ещё раз и заменив значения производных из системы (1), получим

Продолжая этот процесс (дифференцируем - подставляем - получаем), находим

Соберем полученные уравнения в систему:

(2)

Получили нормальную систему из n ДУ.

70. Редукция одного уравнения высшего порядка к нормальной системе уравнений первого порядка.

Рассмотрим редукцию на примере ДУ третьего порядка:

y'''=f(x;y;y';y'')

Производим замену y'=p, y''=p'=q и сводим ДУ третьего порядка к нормальной системе ДУ:

71. Матричная форма записи нормальной системы линейных ду первого порядка. Вывод характеристического уравнения для однородной системы с постоянными коэффициентами.

Обычная система ДУ имеет вид

где aij(x) и bj(x) - известные, а yj(x) - неизвестные функции, (i=1,2,...,n. j=1,2,...,n) называется линейной системой ДУ.

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной(матричной) формой записи. Обозначим:

Тогда линейная система ДУ в матричной форме записывается в виде Y'=A(x)Y+b(x) или, что то же самое, в виде

Матрица А называется матрицей системы, а вектор -функция b(x) - неоднородностью системы.

Система Y'=A(x)Y+b(x) называется неоднородной линейной системой ДУ, а система Y'=A(x)Y - однородной линейной системой.

Вывод характеристического уравнения для однородной системы с постоянными коэффициентами

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y1,y2 и y3:

(1)

где все коэффициенты aij (i,j=1,2,3) - постоянные.

Будем искать частное решение системы (1) в виде

y1= (2)

где - постоянные, которые надо подобрать так, чтобы функции (2) удовлетворяли системе (1)

Подставив эти функции в систему (1) и сократив на множитель ≠0, получим:

или

(3)

Систему (3) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

(4)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением системы (1). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.

1 случай.

Корни характ-го уравнения действительны и различны: k1,k2,k3. Для каждого корня ki напишем систему (3) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать единице).

Таким образом, получаем:

для корня k1 частное решение системы (1): ;

для корня k2 - ;

для корня k3 -

Можно показать, что эти функции образуют ФСР. Общее решение системы (1) записывается в виде