4)деферинциал функции и его геометрический смысл

Пусть функция y=f(x) имеет в точке х отличную от нуля производную, тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функии, можно записать f^’(х)+альфа, где альфа стремиться к 0 при дельта х стремящемся к 0 или дельта у=f^’(х)*дельтаХ+альфа*дельтаХ – приращение к дельта у двух слагаемых суммы являющихся бесконечно малыми при дельтаХ стремиться к 0

Дифференциалом функции у=f(x) в точке х называется вчасть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается dy= f^’(х)*дельтаХ – дифференциал первого порядка

dy= f^’(х)dx

дифференциал фун-ции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. dy/dx= f^’(х)

На графике функции   возьмем произвольную точку   и дадим аргументу   приращение  . При этом функция получит приращение  (на рисунке отрезок  ).Проведем касательную к кривой   в точке   и обозначим угол ее наклона к оси   через  , тогда . Из треугольника   находим    , т.е.  .Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции   в данной точке, когда аргумент   получает приращение  .

5) Производные и деференциалы высших порядков

Если функция f^’(х) дифференцируема, то её производная называется производной воторого порядка и так далее производная от производной. Производной n-го порядка называется производная от производной n-1порядка

Производныес порядком выше первого называются производными высшего порядка. Начиная с 4 производной производные обозначают римскими или числами в скобках.

Дифференциал от дифференциала функции называется её вторым дифференциалом о обозначается d²y или d²f(x)

Итак по определению d²y=d(dy)

d²y=f^’’(x)dx²

Аналогично получаем 3 и n

Дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала n-1

Все эти формулы справедливы только если независимая переменная.

6)Связь между деференцируемостью и непрерывностью функции

Теорема

Если функия дифференцируема в некоторой точке то она неразрывна в ней

Непрерывная функция может не иметь производной.

7)Теорема Ролля и ее геометрический смысл

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), то найдется хотя бы одна точка с принадлежащая (a,b), в которой производная f^’(х) обращается в нуль т.е f^’(c)=0

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y =f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

8)Теорема Коши и теорема Лангранжа

теорема Коши

Если функции f(x) и фи(х) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) при чем фи^’(х)не равно нулю для х принадлежащему (a,b), то найдется хотя бы одна точка с принадлежащая

(a,b) такая, что выполняется равенство f(b)-f(a)/фи(b)-фи(а)= f^’(c)/ фи^’(с)

теорема Лангранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) ), то найдется хотя бы одна точка с принадлежащая

(a,b) такая, что выполняется равенство

f(b)-f(a)= f^’(c)(b-a)

9) Теорема Лапиталя, Правило Лапиталя

Теорема Лапиталя

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть   или  . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций  , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

Правило Лапиталя

Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.