16) Тригонометрические подстановки для некоторых иррациональных функций

Интегралы типа |R(x;sqr(a²-x²)dx, |R(x;sqr(a²+x²)dx,

|R(x;sqr(x²- a²)dx приводятся в интегралам от функций, рационально зависящих от тригометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: x=a*sin(t) для первого интеграла; x=a*tg(t) для второго интеграла; x=a/sin t для третьего интеграла

17)Интегрирование рациональных функций

Дробно-рациональная фун-ция называется фун-ция, аврная отношению двух многочленов, т.е

f(x) = P_m(x)/Q_n(x), где P_m(x) – многочлен степени m, а Q_n(x) – многочлен степени n

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.  При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемыйметод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

18) Интегрирование тригонометрических функций

Все сводиться к замене через tg(x/2)=t универсальная

Sinx=2tg(x/2)/1+tg²(x/2)= 2t/1+t²

Cosx= 1-tg²(x/2)/ 1+tg²(x/2)

Dx=2/1+t²dt

19)Интегрирование иррациональных функций

Квадратичные иррациональности

1. Под корнем выделяем полный квадрат

2. Сделать подставновку(замену) на t

3. Свети к табличным

Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа |R(x,((ax+b)/(cx+d))^{альфа,бета} …..,((ax+b)/(cx+d))^{гаммаббла бла}dx

Решаются методом подстановки (ax+b)/(cx+d)=t^k

k-наименьшее общее кратное знаменателей дробей

20) Несобственные интегралы

Определенный интеграл, где промежуток игтегрирования [a;b] конечный, а подынтегральная функция непрерывна на отрезке [a;b], назвают ещё собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

22) Область определения функций нескольких переменных, частные производные

Пусть задана функция z=f(x;y) Так как x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение дельта х, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается дельта _хz

Аналогично делаем с z по y

Полное приращение функции определяется равенством

Дельта z=f(x+дельта х;у+дельта у) – f(x;y)

Если существует предел

Lim дельта _хz/дельта х – то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М (х,у) по переменной х и обозначается одним из символов

1. Площадь плоской фигуры.

П лощадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как 

Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x), пересекающей ось абсцисс, определяется формулой 

где x_i – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок [a; b] нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.

2 . Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна 

3. Объем тела вращения.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его объем выражается формулой 

Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x, – непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его объем равен 

4. Длина дуги кривой.

Пусть задана кривая   Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α иt = β выражается формулой 

Рисунок 3.4.4.3.

Длина дуги плоской кривой

В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается формулой 

5. Площадь поверхности вращения.

Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой