10) Достаточные условия существования экстремума, два правила отыскания экстремума

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке х0 то её производная в этой точке равна 0. И если производная при переходе точки х0 слева на право меняет знак с + на – то х-точка мах, если с – на + - точка мин. Если знак не меняется точка не явлется точкой экстремума.

Первое правило отыскания экстремумов

1. Найти ООФ

2. Найти производную и критические точки по 1-ой производной

3. Разбить ООФ критическими точками на интервалы и найти знак производной на каждом интервале

4. Найти точки экстремума по первому достаточному условию

5. Найти значения функции подставив значения экстремума

Второе достаточное условия сущ. Экстремума

Пусть f(x) дважды непрерывно дифферен. В точке х₀

И f^’в х₀ = 0, если вторая производная >0 то х₀-мин, наоборот – точка максимума.

Второе правило отыскания экстремума

1. Найти ООФ

2. Находим первую производную и критич точки

3. Находим вторую производную и выясняем её знак к кр точке.

4. Делаем заключение относительно второго достаточного условия

5. Находим значение функции в точке экстремума.

11) Выпуклость и выгнутость прямой, точки перегиба

Прямая называется выпуклой в точке х₀ если все точки кривой лежат ниже точек касательной проведенной к кривой в точке х₀

Прямая называется вогнутой если все точки прямой лежат выше точек касательной проведенной к кривой в точке х₀

Кривая называется выпуклой если она выпукла в каждой точке этого интервала.

Аналогично с вогнутой.

Достаточное условие существования этих прямых.

Пусть f(x) дважды диффер. На интервале (a,b)если в каждой точке интервала f^’’>0 то кривая вогнутая, если наоборот- выпуклая.

Точки определяющие интервалы выпуклости и вогнутости называются точками перегиба.

Если х₀ – точка перегиба y=f(x) а функия дважды дифферен. в точке х₀ то в самой точке х₀ вторая производная =0

12) Асимптоты прямой

Асимптотой кривой называет. Прямая обладающая св-вом

Если точка движется по кривой и не ограниченно удаляется от начал координат, то расстояние от этой точки до асимптоты стремиться к 0

Вертикальные и наклонные асимптоты

Вертикальные х=а если lim f(x) где x стремиться к а=бесконечности или lim f(x) где x стремиться к а-=бесконечности или lim f(x) где x стремиться к а+0=бесконечности

Уравнение наклонных асимптот y=kx+b

Где k=limf(x)/x, x->x₀ и b=lim[f(x)-kx, x->+-бесконечность

Если k=0 то асимптота называется горизонтальной если хотябы одни из пределов по которым находятся k и b не существует то и наклонная асимптота не существует

13)Схема полного исследования функции и построение графика

1) Найти ООФ

2) Исследовать функцию на четность и нечетность

3) Найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты

4) Найти точки пересечения графика с осями координат

ОХ: y=f(x) OY: y=f(x)

Y=0 x=0

5) Найти наклонные асимптоты

6) Найти производную критической точки, интервалы монотонности и точки экстремума

7) Найти вторую производную, кр точки, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

8) Построить график

14) Неопределенный интеграл и его свойства

Функция называется первообразной на интервале (a,b) если для любого х выполняется неравенство

F^’(x)=f(x)

Множество всех первообразных функций F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается |f(x)dx

Где f(x) подынтегральная функция, f(x)dx – подынтеральное выражение, х – переменная интегрирования, | - знак неопределенного интеграла

Св-ва

1. Дифференциал от неопреленного интеграла равен подынтегральному вырадению, а производная неопределнного интеграла равна подынтегральной фун-ции

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной |dF(x)=F(x)+C

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непререрывных фун-ций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых фун-ций.

15) Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u*dv+v*du

Интегрируя это равенство получаем формулу интегрирования по частям

| d(uv)=| udv+ | v du или |udv=uv-|v du

Интегралы вида

1. |P(x)*e^kxdx, |P(x)*sin kxdx, |P(x)*cos ks dx

2. |P(x)*arctgx dx, |P(x)*arcsinx dx, |P(x)*cosxdx, |P(x)*lnx dx

3. |e^ax * sin bx dx