Узкополосный сигнал

 Узкополосный сигнал - это сигнал, у которого полоса частотного спектра значительно меньше несущей частоты:

_.

,

где U(t) – амплитуда сигнала, А_s(t)=U(t)cos(φ(t)) — синфазная амплитуда, В_s(t)=U(t)sin(φ(t)) — квадратурная амплитуда.

Комплексная амплитуда узкополосного сигнала .

,

где  — оператор вращения.

При определении параметров сигнала (амплитуды, частоты и фазы) различными методами можно допустить ошибку.

Например: простейшее колебание  можно представить в форме , где . В этом выражении огибающая А(t) в отличие от А_о является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения заданной функции а(t):

,

откуда

.

Из этого выражения видно, что новая функция А(t) по существу не является “огибающей” в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую а(t) (вместо касания в точках, где А(t) имеет максимальное значение). То есть мы не верно определили огибающую и частоту. Существует метод мгновенной частоты — метод Гильберта для определения частоты.

Для сигнала , найдем

Тогда параметры сигнала S(t):

Физическая огибающая: .

Полная фаза сигнала , а мгновенная частота

Заметим, что , где - комплексная огибающая сигнала.

Свойства комплексной огибающей:

1) Модуль комплексной огибающей равен физической огибающей и постоянен, не зависит от выбора частоты.

2) Модуль сигнала s(t) всегда меньше или равен u_s(t). Равенство наступает тогда, когда cos w_ot = 1. В эти моменты производная сигнала и производная огибающей равны.

3) Физическая огибающая совпадает с максимальным значением амплитуды сигнала.

Обозначим временные функции и соответствующие им спектры как: , причем

Зная комплексную огибающую, можно найти ее спектр, а затем и сам сигнал:

пусть , тогда .

Зная найдем .

 Помножим на (-b-jt) и получим вещественную и мнимую части соответственно   , .

Отсюда амплитуда .

44

Аналитический сигнал

 Пусть есть сигнал s(t), определяемый как

.

Разделим его на две составляющие

.

В этом выражении  –– аналитический сигнал.

Если ввести переменную  то  .

То есть:

 .

Реальный сигнал , сигнал, сопряженный по Гильберту . Аналитический сигнал есть .

,  –– прямое и обратное преобразование Гильберта.

Определение несущей и огибающей по методу Гильберта

Использование сигнала, сопряженному по Гильберту позволяет однозначно определять параметры узкополосного сигнала:

Амплитуда сигнала , фаза . Значение мгновенной частоты .

Пример: .

.

–– точное определение огибающей.

Любой сигнал можно разложить в ряд Фурье: .

Сопряженный по Гильберту сигнал: .

Если сигнал представлен не рядом Фурье, а интегралом Фурье, то справедливы следующие соотношения

,

.

Свойства аналитического сигнала

                           

1.    Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты

2.    Произведение аналитического сигнала z_s(t) на сопряженный ему сигнал z_s^*(t) равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала s(t).

3.    Спектральная плотность комплексной огибающей совпадает со смещенной на величину w₀ влево спектральной плотностью аналитического сигнала z_s(t).

Иначе , где .

Преобразование Гильберта для узкополосного процесса

Свойства преобразований Гильберта

 ––преобразование Гильберта, где Н( ) – оператор преобразования.

1.     

2.    

3.    Если исходный сигнал s(t) имеет экстремум в какой-то точке, то в окрестности этой точки функция проходит через ноль.

Пример. Сигнал s(t) – идеальный низкочастотный сигнал.

??