Дифференцирующая и интегрирующая цепи

  В радиоэлектронике часто необходимо осуществить дифференцирование или интегрирование сигнала. Дифференцирование и интегрирование являются линейными математическими операциями. Следовательно, следует применять линейные цепи и элементы. Этим требованиям отвечают конденсаторы и катушки индуктивности в сочетании с резистором при надлежащем съеме выходного сигнала.

Дифференцирующая цепь

Если на вход подается сигнал u(t), то с выхода должен сниматься сигнал вида , где t₀ – постоянная величина, имеющая размерность времени.

Уравнение для тока в цепи: . После дифференцирования: .

Если обозначить , то . Обозначим CR через t –– постоянная времени цепи.

Проанализируем. Если  очень большое, то это быстрый процесс ( ). При этом, в случае отсутствия постоянной составляющей в сигнале,

Если   мала, то это медленный процесс ( ). При этом

Следовательно: дифференцирующая цепь дифференцирует медленные процессы и пропускает без изменения быстрые процессы.

Передаточная функция цепи:

если t мала, то 

если t большая, то

Переходная характеристика:

Интегрирующая цепь

Если на вход подается сигнал u(t), то с выхода должен сниматься сигнал .

В этом случае .

Если RC большое (быстрый процесс), то .

Если КС мало (медленный процесс), то .

Следовательно интегрирующая цепь интегрирует быстрые процессы и пропускает без изменения медленные.

_{Передаточная функция:}

Переходная характеристика:

??

Спектральный метод.

В основе этого метода лежит использование передаточной функции цепи . Если на входе линейного че­тырехполюсника действует сигнал произвольной формы в виде ЭДС е (t), то, применяя спектральный метод, следует определить спектральную плот­ность входного сигнала . Умножением на определяется спектральная плотность сигнала на выходе четырехполюсника. Наконец, применение к произведению обратного преобразования Фурье определяет выходной сигнал в виде функции времени.

Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла:

то выходной сигнал можно представить в аналогичной форме .

Сигнал на выходе линейной цепи мож­но получить суммированием составляющих спектра входного сигнала, взятых с весом . Иными словами, передаточная функ­ция цепи является весовой функцией, определяющей относительный вклад различных составляющих спектра в сигнал u (t).

Операторный метод

Анализ переходных процессов значительно упро­щается при представлении как внешнего воздействия, так и передаточной функции в виде преобразований Лапласа. При этом обозначение передаточ­ной функции можно сохранить прежним, а изменить только аргумент, так что перейдет в . Функция же переходит в . Преобразование Лапласа от функции времени е (t) в дальнейшем обозна­чается символом . При этом получаем:

При t > 0 замкнутый контур интегрирования, образованный добавлением дуги бесконечно большого радиуса в левой полуплоскости, охва­тывает все полюсы подынтегральных функций как , так и , благо­даря чему имеет место соотношение:

при t>0,

(здесь — сумма вычетов в указанных полюсах).

При t < 0 контур интегрирования лежит в правой полуплоскости, не содержит полюсов и интеграл равен нулю.

Показанное на рисунке расположение полюсов функции (на мни­мой оси) соответствует ЭДС вида , существующей при

Итак, вычисление интеграла сводится к определению вычетов в по­люсах подынтегральной функции. Представим подынтегральную функцию выражения в виде:

В данном случае знаменатель D(p) образуется произведением множите­лей вида ( — ), где — полюсы не только функции , но и функ­ции

Тогда вычет функции С(p)/D(p), имеющей в точке рi простой полюс (первой кратности), определится формулой

Если функция C(p)/D(p) имеет в точке рi полюс кратности k (k — целое положительное число), то

Методика применения контурных интегралов для определения некото­рых функций, играющих большую роль в теории переходных процессов, будет в дальнейшем пояснена на примерах.

??