54.Теорема существования первообразной для непрерывной ф-и. Ф. Ньютона-Лейбница.
Ф-ция
,
где х [a;b] называется интегралом с
переменным верхним пределом.
Если f(x) непрерывна на [a;b], то производная ф-ции существует в кафдой точке х [a;b] причём Ф`(x) =f(x)
Т: Если
непрерывна на
, справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница:
ВЫВОД ФОРМУЛЫ:
Рассм-м
, т.к.
,
то
-
первообразная для
.
Но
,
также первообразная. Это значит что
имеет место следующее равенство :
Подставим верхнюю границу:
55. Замена переменной и интегрирование по частям в ОИ.
Пусть
заданны
тогда имеет место интегрирование по
частям:
→
Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть
непрерывна на
,
а
непрерывна на
.
Вместе со своей производной
;
причем
,
и сложная функция
непрерывна
на
,
тогда справедливо формула замены
переменной для определенного интеграла:
ДУ 2 порядка, допускающие понижение порядка
1.y’’=f(x), y’=p,где p=p(x); y’’=p’;
p`=f(x);
dp/dx=f(x)
отсюда
;
2. y’’=f(x,y’), y’=p; p=p(x); y’’=p’
P’=f(x,p(x));
интегрируем,
подставляем y’, все аналогично отсюда ответ:
3. y’’=f(y,y’), y’=p; p=p(y) – сложная ф-я y
Y’’=p’y’=p’p; p’p=f(y,p) или (dp/dy)*p(y)=f(y,p(y)).
P
заменяем на y’
получим
56. Площадь плоской фигуры. Объем тел вращения.
1.
на
и
2.
на
и
3. На график имеет вид
4
.
даны функции:
и
на промежутке
5
.
на промежутке
то получаем
6
.
и
на промежутке
(графики ориентированны на
)
9. Вычисление длины дуги кривой. Пусть заданна на .
Объемы тел вращения
1.
2.
Уравнение Лемниската-Берлуни
9 . Вычисление длины дуги кривой. Пусть заданна на .
57. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
А)
н/с интеграл с бескон. верхним пределом
инт. О1. У=f(x),
хЄ[a;+)
, где а- конечн.число. Ф-я f(x) и инт-ма на
люб отрезке [а;B]
[a;+).
(1)
--н/с ин-л с бескон-верхним пределом. О2.
Если предел в правой части равенства
(1) сущ. и явл. конеч числом, то н/с ин-л
назыв. сход, в противном случае – расход
О3.
у= f(x) (-∞;b),
кот опред и ин-ма на [А;В]с(-∞;b).(2)
--н/с
ин-л с беск нижним пр.О4. понятие сход-сти
О5. у=f(x)
(-∞;+∞),
(А;В)с(-∞;+∞)(3)
--н/с
ин-л с 2я бескн пред-и.Можно
переп-ть
(4)
где
-∞<С<+∞ , (3)=(4) Исследование сходимости
интеграла
1)α=-1,тогда
=
Если оба пред-а в правой части сущ и явл конечн числами, то н/с ин-л разрывн ф-ции назыв сход, а если один из пред-в не сущ. или =∞, то н/с ин-л наз. расход
16. Собственные векторы и собственные числа матрицы. Свойства
1)СВ матрицы имеет единственное СЗ.
Если
и
-
СЗия для одного и того
же вектора Х, то АХ= Х и АХ= Х, откуда Х= Х или ( - )Х=0. Но Х 0, значит, = .
2)СВ
матрицы А, соотв. СЗ
,
определяется с точностью до постоянного
множителя.
Если Х – СВ матрицы А с СЗ , то вектор kХ, k 0,является СВ матрицы А.
3)
Если Х
и Х
-
линейно независимые собственные векторы
матрицы А, соотв. Одному и тому же
значению
,
то их сумма Х
+Х
также является СВ матрицы А с тем же СЗ
.
Следствие.
Если Х
,
Х
,…,
Х
- линейно независимые СВы матрицы А,
соответствующие одному и тому же СЗ
,
то любая нетривиальная линейная
комбинация этих векторов k
X
+
k X + …+ k X является СВом матрицы А, соответствующим числу .
4)СВы матрицы А, соответствующие попарно различным СЗиям, являются линейно независимыми. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: существуют линейно независимые собственные векторы, соотв. Одному и тому же СЗ .
5)В
пространстве R
матрица
А не может иметь более n
собственных значений.
Это следует из того, что любые n + 1 векторов n-мерного пространства являются линейно зависимыми.
6)СВ симметрической матрицы, соответствующие различным СЗ, попарно ортогональны.
Пусть
,
АХ
=
Х
,
АХ
=
Х
,А=А’.
Тогда Х
Х
=0.
58. Несобственные интегралы от неограниченных ф-й.
Пусть ф-ция определена и интегрируема на замкнутом промежутке [a;b], за исключением конечного числа точек [a;b], в которых ф-ция терпит разрыв 2-го рода. Тогда интеграл наз-ся несобственным интегралом от разрывной ф-ции и вычисляется по правилу:
59. Дифференциальное уравнение. Основные понятия.
О1. ДУ – ур-е, сод неизв ф-цию, независ переем-ю и ее производные различных порядков.
Если неизв ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ).
Если неизв ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назыв ур-е частичных производных.
В общем виде ОДУ можно записать F(x,y,y’, … , y(n))=0 (1) неявный
y(n) =f(x,y,y’,…,y(n-1)) (2)явный
Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я.
О2. ф-ция у=у(х) наз решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими произв-ми, она обр-т его в верное рав-во. Задача нах-я решения ДУ наз задачей интегрирования ДУ.
О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=(x,c1,c2,…,cn), которая зависит от переменной х и n произвольных постоянных
О4. Частичным реш ДУ наз реш, получ из общего при некот конкретных числовых значениях постоянных c1,c2,…,cn
Демографическая модель
Из статистики известно, что для конкр региона число рожд и умерш за ед врем проп-но числ-ти населения с коэф. Проп-ти k1,k2. Найти закон измен числ-ти населения с течением времени, т.е. опис матем демограф процесс.
Реш. Пусть y=y(t) –число жителей региона в момент времени t.
∆у – прирост населения за время ∆t
где
k=k1-k2
Разделим на ∆t
,
y’=ky, где k=k1-k2 y=cekx
60. диф. Ур-ния 1-го порядка с раздел.переменными
Имеют вид: y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2)
1) y’=f(x) dy/dx=f(x)
dy=f(x)dx dy=f(x)dx y=f(x)dx
2) y’=f(y) dy/dx=f(y)
3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными f(x)dx=f(y)dy
4)с разделяющимися переменными
y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y)
ДУ с разделяющимися переменными
Ур-е вида (4) реш по схеме:
d(y)/d(x)=f(x)gy
d(y)/g(x)=f(x)d(x)
M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)
5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка (ф-ция вида f(αx,αy)=αkg(x,y) наз однор ф-ция k-того порядка,αЄR)
реш с помощью подстановки
z=y/x y=zx y’=z’xx+z
z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x
6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by
ДУ с разделяющимися переменными – уравнения вида:
1. M(x)N(y) dx+K(x)L(y)dy=0
2. y`=f(x)g(y)
Решаются по схеме:
1. Делим на N(y)K(x):
M(x)/K(x)dx+L(y)/N(y)dy=0 и интегрируем обе части( в правой части вместо 0 будет С)
2. dy/dx=f(x)g(y). Обе части * на dx и / на g(y), получим:
dy/g(y)=f(x)dx и интегрируем обе части.