66. Признак сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши.

Признак Даламбера:

Пусть задан ряд и сущ , тогда

если l<1, ряд сх-ся; l>1, ряд расх; l=1, ?

Признак Коши:

Пусть задан и сущ , тогда если

l<1, ряд сх-ся

l>1, ряд расх-ся

l=1, ?

1-й признак сравнения:

Пусть (1) и (2) с неотриц членами. Тогда если вып-ся нер-во начиная с некот n, то если ряд 2 сх-ся, то и ряд 1 сх-ся, а если ряд 1 расх-ся, то и ряд 2 расх-ся.

2-й признак сравнения:

Пусть заданы ряд (1) и (2), члены кот положит и сущ , 0<l<∞. Тогда эти ряды (1), (2) одновр-но сх-ся или расх-ся

67. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Знакоперемунным числовым рядом называется такой ряд, который содержит как положительные, так и отрицательные члены. Является частным случаем знакочеред.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

.ряд сходится.

68. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

называется знакочередующимся.

Достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующ.ряда:

Если предел , то ряд сходится.

69. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

o. Ряд вида

, где а0, а1, а2... называется степенным рядом по степеням x-x0. Если в ряде 1 положить x0=0, То получим …по степени x

o2. Число R>0 называется радиусом сходимости ряда 2, если для всех [x]<R ряд сходится, [x]>R ряд расходится

О2. Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости ряда 2

О3. Множество всех значений х, для которых ряд 2 сходится, область сходимости ряда.

Структуру области сходимости степенного ряда устанавливает теорема Абеля.

1) Если степенной ряд   a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|

2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_{1 ,} то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x₁|

Область сходимости может иметь 1 из 4 видов:

(-R;R), [-R;R), (-R;R], [-R;R], где R—радиус сходимости, он находится по одной из формул:

-- формула Даламбера

-- формула Коши

Вычислив R, записываем интервал сходимости, если R≠∞, 0, то исследуем степенной ряд при x=-R, x=R

Из т-мы Абеля следует, что для любого степ ряда найдется такое неотриц число , R наз радиусом сх-ти, что при всех x, | x |< R , ряд сх-ся, а при всех x, | x |> R , ряд расходится.

70. Ряды Тейлора и Маклорена.

Ряд Тейлора по степеням (х-х0) F(x) x0≠0 называется разложение вида:

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+ (f ’`(x₀) ( x - x₀)²)/2!+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! +…= ( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!

разложение ф-ции F(x)

в ряд Тейлора(Маклорена) осуществляется следующим образом:

1.находим общую формулу для n-ой производной данной ф-ции

2.вычисляем значения производных для ряда Тейлора или Маклорена

3.записываем разложение в ряд … по формулам

4.находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши

f(x)= a₀ + a₁( x - x₀)+ a₂( x - x₀)²+…+ a_n( x - x₀)ⁿ +… с радиусом сх-ти R ,(| x - x₀ |<R). Этот ряд на инт-ле сх-ти | x - x₀ |<R можно дифференцировать бесконечное число раз:

f ⁿ(x)=n∙(n-1)∙ …∙ a_n+(n+1) ∙n∙…∙3∙2a_n+1∙( x - x₀) +…

Положим в каждом равенстве x= x₀ . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:

a₀=f(x₀), a₁=(f ’(x₀))/1!, a₂=(f ’’(x₀))/2!,… a_n=( f ⁿ (x₀))/n!

Итак, если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x₀), то этот ряд имеет вид :

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+ (f ’(x₀) ( x - x₀)²)/2!+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! +…= ( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!

Опр-е. Степ ряд такого вида наз рядом Тейлора ф-и f(x) в т. x₀ . Если x₀ = 0 , то такой ряд наз рядом Маклорена.

Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).

Если ф-я f(x) и ее произв-е любого порядка ограничены в окр-ти т. x_0: (| x - x₀ |<R) одним и тем же числом M, то ее ряд Тейлора сх-ся к самой f(x ) для любого x из этой окр-ти | x - x₀ |<R . Если ф-я f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

71. .ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на интервале сходимости (по любому отрезку внутри интервала  интегрировать, в любой точке внутри интервала  дифференцировать), причём радиус сходимости при этом не меняется.

Доказательство: пусть существует im|c_n/c_n+1|=R {n}

В силу равномерной сходимости степенного ряда S(x)=c_nxⁿ на отрезке [-q, q](-R, R) => его можно почленно интегрировать на любом отрезке [x₀, x](-R, R), причём: S(t)dt {x₀, x} = (c_nxⁿ⁺¹/(n+1)) {n=0, } - (c_nx₀ⁿ⁺¹/(n+1)) {n=0, } ;

Ряд (c_nxⁿ⁺¹/(n+1)) {n=0, } сходится в области (-R, R), поскольку его радиус сходимости R’=im|c_n/c_n+1| {n} = R;

Ряд же (c_nx₀ⁿ⁺¹/(n+1)) {n=0, } мажорируется сходящимся числовым рядом x₀c_nx₀ⁿ . Отсюда следует, что ряд, полученнй почленным интегрированием исходного ряда, сходится равномерно в [-q, q](-R, R)

Почленное дифференцирование исходного ряда приводит к ряду S’(x)=nc_nx^n-1 {n=0, }. Покажем, что он сходится при |x|<R. Действительно, поскольку ряд c_nxⁿ {n=0, } сходится абсолютно при |x|q<R, то сходится и числовой ряд c_nqⁿ {n=0, }; Тогда по необходимому признаку сходимости im(c_nqⁿ)=0 {n}, т.е. последовательность (c_nqⁿ) ограничена. Это значит, что существует константа K>0 такая, что |c_nqⁿ|K, n0. Отсюда

|nc_nx^n-1|=(n|c_nqⁿ|/q)|x^n-1/q^n-1|(Kn/q)|x/q|^n-1 , т.е. ряд [(Kn/q)|x/q|^n-1] {n=0, } является мажорантным для ряда nc_nx^n-1 {n=0, }. При |x|q<R мажорантный ряд сходится (по признаку Даламбера) => ряд из производных равномерно сходится на всяком отрезке [-q, q], содержащемся в интервале (-R, R), и почленное дифференцирование оправдано.

обл. сходимости (-R;R). тогда для хЭ(-R;R) ряд можно почленно диф-ровать

Также ряд 1 можно почленно интегрировать для всех хЭ(а;b)<(-R;R)