13.Дифференцирование неявных и параметрических данных функции.

Неявная функция и ее дифференцирование.

Пусть значение двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое мы символически обозначим: F(x, y) = 0.

Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (a, b), такова, что уравнение при подстановке в него вместо y выражение f(x) обращается в тождество относительно x, то функция y = f(x) есть неявная функция.

Функция y = f(x), х €(a, b), неявно задана уравнением F (x, y) = 0, если для всех х €(a, b).

F = (x, f(x)) = 0.

Для вычисления производной функции y = f(x) следует тождество F = (x, f(x)) = 0 продифференцировать по x (рассматривая левую часть как сложную функцию х), а затем полученное уравнение разрешить относительно f^/(x).

Пример: Уравнение х² + y² = 1 неявно определяет на интервале (-1, 1) две функции:

y₁(x) = √(1-x²)

y₂ (x) = - √(1-x²)

Найти их производные, не используя явных выражений.

Пусть y(x) – любая из этих функций. Тогда дифференцируя по х тождество

х² + y² (x) = 1 получим 2х + 2y(x)y^/(x) = 0.

Отсюда: y^/(x) = - x/(y(x))

Т.е. y₁^/(x) = - x/(y₁(x)) = - х/√(1 – х²)

y₂^/(x) = - x/(y₂(x)) = - х/√(1 – х²)

Не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. можно представить в виде y = f(x), где f(x) есть элементарная функция. Так, например, функции, заданные уравнениями

y⁶ – y – x² = 0 или y – x – ¼ sin y = 0,

не выражаются через элементарные функции, т.е. эти уравнения нельзя разрешить относительно y.

Отметим, что термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ задания. Каждая явная функция y = f(x) может быть представлена, как неявная y – f(x) = 0.

Укажем, далее, правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т.е. не представляя в виде y = f(x).

Допустим, что функции задана уравнением x² + y² - a² = 0.

Если здесь y есть функция от x, определяемая этим равенством, то это равенство есть тождество.

Для нахождения значения производной неявной функции при данном значении аргумента x нужно знать и значение функции y при данном значении x.

Параметрическое задание функции.

Пусть зависимость между аргументом х и функцией y задана параметрически в виде двух уравненией:

x = x(t)

y = y(t)

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную y^/_x^/ считая, что заданные функции имеют производные и что функция x = x(t) имеет обратную t = φ(x). По правилу дифференцирования обратной функции t^/_x = 1/х^/_t.

Функцию y = f(x), определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию y = y(t), где t = φ(x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y^/_x = y^/_t * t^/_x.

C учетом равенства получаем:

y^/_z = y^/_t * (1/x^/_t), т.е. y^/_x = y^/_t / x^/_t

Полученная формула позволяет находить производную y^/_x от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

14.Теорема Ферма. Необходимые условия экстремума.

Если функция f (x), определенная в окрестности точки x0 , дифференцируема в этой точке и имеет при x = x0 экстремум, то f '(x0) = 0.

В достаточно малой окрестности точки экстремума (точки локального минимума или локального максимума) приращение функции сохраняет знак независимо от знака приращения аргумента: в точке строгого минимума приращение положительно, а в точке максимума отрицательно. Поэтому для отыскания экстремума Ферма изучал зависимость приращения функции от малых приращений аргумента.

Покажем, к примеру, как по методу Ферма следовало искать вершину параболы y = = x2, то есть минимум функции f (x) = x2. Рассмотрим приращение функции f (x) в произвольной точке x при малом приращении аргумента h. Получим

f (x + h) – f (x) = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2.

Чтобы приращение функции f (x) не зависело от h, нужно, чтобы выполнялось равенство 2xh = 0, то есть 2x = 0. Значит, x = 0 и вершина параболы y = x2 имеет координаты (0, 0). Рассмотрим еще один пример. Пусть g(x) = x(1 – x).

Имеем: g(x + h) – g(x) = x + h – (x + h)2 – x + x2 = (1 – 2x)h – h2.

Наибольшее значение функция g(x) имеет в точке x, где 1 – 2x = 0, то есть при x = 1/2.

При этом gmax = 1/4.