Свойства предела функции. Теорема 1 (свойства предела функции).

1. Если lim_x → af(x) = A , то найдется окрестность точки a такая, что в этой окрестности функция f(x) будет ограничена.

2. Если f(x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то lim_x → af(x) = A

3. Если lim_x → af(x) = A1 и lim_x → af(x) = A2, то A1 = A2

Утверждения данной теоремы вытекают из определения предела функции.

Теорема 2 (арифметические операции над пределами). Если lim_x → af(x) = A, lim_x → ag(x) = B, то

1. lim_x → a[f(x)± g(x)]=A± B,

2. lim_x → af(x)g(x) = AB

3. lim_x → af(x)/g(x) = A/B, B ¹ 0

Эта теорема непосредственно следует из соответствующей теоремы о пределах последовательностей.

Теорема 3 (предел и неравенства). Пусть f:E→ R, g:E→ R, h:E→ R

1. Если lim_x → af(x) = A, lim_x → ag(x) = B и A<B, то $ : " x  f(x)<g(x).

2. Если для " x  E f(x) £ g(x) £ h(x) и существует lim_x → af(x) = lim_x → ah(x) = A. то существует lim_x → ag(x) = A

Пример 6. (Первый замечательный предел)

lim_x→ 0(sin x)/x = 1

Доказательство.

1. Покажем, что

cos ²x<(sin x)/x<1 при 0<|x|<p/2.

Так как cos²x,(sin x)/x - четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x<p/2.

Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора OCD, треугольника D OAB и сектора OAB, найдем

Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.

2. Из выше полученного результата следует, что

|sin x|£|x| " x R.

3. Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что

lim _x→ 0sin x = 0.

4. Теперь покажем, что

lim_x→ 0(sin x)/x = 1.

Cчитая, что |x|<p/2, в силу полученного в 1) неравенства имеем

1-sin²x<sin x/x<1.

Но lim_x→ ₀(1-sin ²x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что

lim_x→ 0(sin x)/x = 1.

Следствие 1.

lim_x → 0(tgx)/x = 1 lim_x → 0(arcsin x)/x = 1 lim_x → 0 (arctgx)/x = 1

Пример 7. Найти

1. lim_x→ ₀(sin 6x)/4x;

2. lim_x→ ₀(1-cos x)/x².

Решение.

lim_x→ 0(sin 6x)/4x = (3/2) lim_x→ 0(sin 6x)/6x = 3/2; lim_x→ 0(1-cos x)/x2 = lim_x→ 0 (2sin² x/2)/x2 = = (1/2)lim_x→ 0(sin²x/2)/(x/2)² = 1/2.

Пример 8. (Второй замечательный предел)

e = lim_x → ¥(1+1/x)^x

Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А. "Математический анализ" ч.1.

Если в данной формуле положить y = 1/x, то получим вторую запись данной формулы.

lim_x → 0(1+x)^1/x = e.

Пример 9. Найти

1. lim_x→ _¥(1+5/x)^3x;

2. lim_x→ ₀(1-3x)^2/x.

Решение.

1.lim_x→ ¥(1+5/x)^3x = lim_x→ ¥ (1+5/x)^{(x/5)(5/x)(3x)} = lim_x→ ¥(1+5/x)^(x/5)15 = e15;

2.lim_x→ 0(1-3x)^2/x = lim_x→ 0(1-3x)^{(-1/(3x))(-3x) · (2/x)} = lim_x→0(1-3x)^{(-1/(3x))(-6)} = e^-6.

2.Предел функции. Свойства пределов.

1. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

2. Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

3. Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке).

4. Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

5. В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

6. Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

7. Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

8. Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

9. Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

• (определение по Коши, ε−—определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если

• (окрестностное определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если для любой окрестности V(A) точки A существует проколотая окрестность точки a такая, что

• (определение по Гейне) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Будем называть последовательностью Гейне, если и при Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем

при

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции и Тогда

• Предел единственнен, то есть

• Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где - проколотая окрестность точки a.

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

• Предел суммы равен сумме пределов:

• Предел разности равен разности пределов:

• Предел произведения равен произведению пределов:

• Предел частного равен частному пределов.