- •1.Числовые множества. Арифметические операции и их свойства. Понятие множества
- •Определение 1. (определение равенства множеств).
- •Определение 2. (определение подмножества).
- •Операции над множествами. Объединение.
- •Свойства операций над множествами.
- •Функции и отображения.
- •Виды отображений.
- •Мощность множеств.
- •II Пространство действительных чисел. Аксиоматика действительных чисел.
- •Числовые множества. Ограниченное множество. Принцип верхней грани.
- •2.Определения и примеры.
- •Свойства предела функции. Теорема 1 (свойства предела функции).
- •2.Предел функции. Свойства пределов.
- •3.Лемма о 2 милиционерах.
- •4.Непрерывность функций
- •5.Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •6.Задача, приводящая к понятию производной.
- •7.Дифференцируемость функции. Правая и левая производной.
- •Односторонние производные функции в точке
- •8.Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций.
- •9.Свойства производной. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •10.Логарифмическое дифференцирование.
- •11.Диффериенцал функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •12.Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •13.Дифференцирование неявных и параметрических данных функции.
- •14.Теорема Ферма. Необходимые условия экстремума.
- •15.Теорема Ролле.
- •16.Теорема Лагранжа.
- •17.Теорема Каши.
- •18.Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности.
- •19.Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано и в форме Лагранжа.
- •20.Разложение по формуле Макларена основных элементарных функций.
- •21.Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Определение экстремума
- •Точки экстремума
- •Наибольшее и наименьшее значение функции.
- •22.Исследование функции на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
- •23.Вертикальные и наклонные асимптоты функции.
- •24. План исследования функции. Построение графиков функции.
6.Задача, приводящая к понятию производной.
Задачи, приводящие к понятию производной
1. Задача о скорости движения. Рассмотрим уравнение неравномерного прямолинейного движения S=¦(t), определенного на множестве (a,b). Зафиксируем последовательно два момента времени t0 и t 1 Î(a,b) и обозначим D t =t1 - t0.
Средней скоростью движения, соответствующей некоторому промежутку времени t, называется отношение пройденного пути, за этот промежуток времени
(2-66)
Средняя скорость не характеризует движение в каждый момент времени. Для того чтобы найти скорость в данный момент t0, необходимо уменьшить промежуток времени t=t1-t0. Чем меньше промежуток , тем меньше средняя скорость отличается от скорости в данный момент времени, т. е. от мгновенной, точное значение скорости равно пределу при , т. е.
. (2-67)
2. Задача о касательной. Пусть на множестве (a, b) задана функция y=¦(x). Отметили в декартовой ee системе координат XOY график в виде кривой К x0;
Возьмем две точки М0 (¦(x0)) и М1(x1;¦(x1)) и проведем через них секущую М0 М1, ее угол наклона обозначим через a1. Тогда, если точка М1, двигаясь по кривой будет приближаться к точке М0, положение секущей изменяется.
Рис. 2.17. К задаче о секущей
Когда точка М1 совместиться с М0, секущая превратиться в касательную. В этом случае a1=a0, где a0 - угол наклона касательной.
Из рисунка видно, что
(2-68)
т.к. x1-x0=D x- это приращение аргумента, ¦(x1)-¦(x0)=D y - приращение функции, то
tga1= (2-69)
Осуществляя предельный переход, когда М1 М0
. (2-70)
Учитывая (2-69), имеем
(2-71)
Итак, тангенс угла наклона касательной , равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее, равно нулю.
Тангенс угла наклона касательной показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция по сравнению с изменением аргумента в точке касания, т.е. характеризует скорость процесса или явления, описываемого кривой К. Зная тангенсы углов наклона касательной к графику функции в двух различных точках, можно сравнивать ’’крутизну подъема’’ графика. Так в точке (x0,f(x0)) (см. рис.) касательная расположена ''круто'', т. е. тангенс угла наклона большой, функция изменяется быстро, тогда как в точке (x1,f(x1)) тангенс угла наклона касательной мал, функция изменяется медленно.
В точках, где касательная горизонта (tg =0), изменение функции почти не происходит.
Если касательная к графику функции в некоторой точке ^ к оси OX, то функция изменяется с бесконечно большой скоростью.
7.Дифференцируемость функции. Правая и левая производной.
Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
,
где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
Уравнение нормали к кривой: .
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.