2. Классификация многокритериальных задач

Первым признаком, по которому классифицируются многокритериальные задачи, является характер решаемой МКЗ.

Дискретными многокритериальными задачами (ДМКЗ) называются задачи, в которых множество объектов конечно. В задачах этого класса множество многокритериальных объектов в пространстве критериев представляет собой множество дискретных точек. Дискретные МКЗ чаще всего ставятся в экономике и квалиметрии.

Исходными данными для дискретных МКЗ является матрица значений единичных критериев , размерности , строками которой являются объекты (варианты) , а столбцами – критерии .

Второй класс образует непрерывные многокритериальные задачи (НМКЗ), которые формулируются следующим образом.

Имеется объект исследования, характеризующийся параметрами . Требуется определить оптимальные в некотором смысле значения этих параметров с учетом нескольких критериев (целевых функций) . При этом задана область определения параметров и целевые функции ;…; .

Область определения параметров (переменных) задается обычно в виде системы ограничений, например, в многокритериальных задачах линейного программирования – система линейных неравенств.

Таким образом, каждый элемент области характеризуется вектором . Учитывая, что заданы целевые функции, от пространства параметров , можно перейти к пространству критериев , и тогда каждый элемент области будет определяться вектором критериев. Множество объектов задано в виде области определения в пространстве критериев .

Так как непрерывные МКЗ, как правило, возникают при оптимизации параметров сложных объектов, то в литературе их еще называют задачами векторной оптимизации. Одной из задач векторной оптимизации является многокритериальная задача линейного программирования.

Вторым признаком классификации многокритериальных задач является вид требуемого результата решения задачи. По этому признаку выделяются следующие классы многокритериаль ных задач:

1. задачи, в которых необходимо выделить из множества объектов один наиболее предпочтительный объект (получить одно наиболее предпочтительное решение). В некоторых случаях может быть выделено не одно, а подмножество экви валентных и наиболее предпочтительных объектов. Постановка задачи выделения наиболее предпочтительного объекта может быть как для дискретных, так и для непрерывных многокрите риальных задач;

2. задачи, в которых необходимо упорядочить многокрите риальные объекты. Постановка многокритериальной задачи в таком виде чаще всего имеет место для дискретных МКЗ, например, упорядочить по предпочтению варианты технических систем, по качеству – образцы продукции;

3. задачи, в которых требуется дать оценку полезности (качества) объектов по шкале интервалов. Другими словами, необходимо построить функцию полезности . Очевид но, что такая постановка задачи может быть как для дискрет ных, так и для непрерывных МКЗ;

4. задачи, в которых требуется выделить подмножество эффективных (конкурирующих) объектов. Такие подмножества называют оптимальными по Парето.

Чтобы говорить об эффективных объектах, необходимо ввести понятие доминируемого объекта.

Определение 1.1. Объект доминирует объект , если по всем критериям предпочтительнее или эквивалентен и хотя бы по одному критерию строго предпочтительнее. Объект называют доминирующим, а – доминируемым.

Если исключить из исходного множества доминируемые объекты, то останутся конкурирующие (эффективные). На рис.1.2 на примере двух критериев дискретной МКЗ выделено подмножество эффективных объектов. В примере принято, что при увеличении

и возрастает предпочтение объектов, – доминируемые объекты.

Следует подчеркнуть, что прежде чем решать дискрет ную задачу выделения наи более предпочтительного объ екта, необходимо сначала выделить подмножество эф фективных объектов, так как искомый объект может на ходиться только в этом под множестве.

Для дискретных МКЗ выделить подмножество эф фективных объектов просто, достаточно исключить из исходного множества доминируемые объекты.

Для непрерывных многокритериальных задач выделение подмножества эффективных объектов является самостоятельной и, следует подчеркнуть, строго математической задачей.