- •Содержание комплекса.
- •Примерный тематический план дисциплины “Численные методы”.
- •Содержание дисциплины “Численные методы”.
- •Тема 1. Численные методы решения нелинейных уравнений.
- •Тема 2. Аппроксимация функций. Интерполяция функций.
- •Тема 3. Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Численные методы решения дифференциальных уравнений.
- •Справочная литература.
- •Часть вторая. Конспект лекций по дисциплине “Численные методы”.
- •Лекция №1. Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.
- •Лекция № 2. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным.
- •Лекция № 3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
- •Лекция № 4. Интерполирование функций. Формула Лагранжа.
- •Лекция № 5. Интерполирование функций кубическими сплинами.
- •Лекция № 6. Численное дифференцирование.
- •Лекция № 7. Численное интегрирование.
- •Лекция № 8. Численные методы безусловной оптимизации.
- •Понятие о численном решении задачи Коши.
- •Часть третья. Вопросы к зачёту по дисциплине “Численные методы”.
- •Часть четвёртая. Примеры практических заданий к зачёту по дисциплине “Численные методы”.
- •Часть пятая. Варианты практических заданий зачёту по численным методам.
- •Варианты заданий для практической работы.
- •Задача № 2.
- •Задача № 3.
- •Задача № 4.
- •Задача № 5.
- •Задача № 6.
- •Задача № 7.
- •Задача № 8.
- •Задача № 9.
- •Задача № 10
- •Список используемой литературы:
Часть пятая. Варианты практических заданий зачёту по численным методам.
Учебный план дисциплины «Численные методы» для заочного отделения, к сожалению, не предполагает выполнение контрольной работы - как завершающего этапа в изучении дисциплины. Однако, в связи с тем, что сдача зачёта по этой дисциплине бывает всегда сопряжена с большими трудностями, целесообразно поступать следующим образом. По обоюдной договорённости преподавателя и студента, последний получает практическое задание, которое выполняет в течение семестра и предоставляет на проверку преподавателю непосредственно перед зачётом. В этом случае студент сдаёт зачёт в форме собеседования с преподавателем по выполненной практической работе. Практическая работа включает десять заданий по основным изученным темам. Эти задания, распределённые на 10 вариантов, приводятся ниже.
Практическая работа выполняется по варианту, номер которого выбирается в соответствии с последней цифрой номера зачётной книжки студента. Выполненную практическую работу сдают для проверки за две недели до зачёта по данной дисциплине. Практическую работу можно выполнять в отдельной тетради, оставив в ней поля для замечаний преподавателя. Более удобным для исполнения и проверки является выполнение работы в печатном виде, на листах формата А4, поскольку при выполнении данной работы студенту неизбежно придётся использовать приложения Excel и MathCAD. Реквизиты указываются в обычном порядке. Наконец, работа может быть предоставлена на проверку в электронном виде, на дискете или по электронной почте.
Если же студент изъявит желание сдавать зачёт по обычным билетам, то это – его право и без согласия студента преподаватель не может заставить его выполнять практическую работу.
Варианты заданий для практической работы.
Задача № 1.
Построить кусочно-линейный интерполянт по заданной таблице узлов интерполяции. Для построения аналитического выражения линейного интерполянта использовать формулу: ,
где (xi,yi), ( xi+1,yi+1 ) – узлы интерполяции. Вычислить с помощью построенного интерполянта значения функции в точках, расположенных между узлами интерполяции. Определить погрешность вычисления значений функции в точках х01= 23,4, х02 = = 50,2 ( для вычислений использовать формулы:
i = | F(x0i) - P1(x0i)| i=1,2).
Вариант 1. F(x) = ln x2
xi |
-11,2 |
-0,5 |
18,3 |
43,7 |
69,2 |
110,8 |
F(xi) |
4,83 |
-1,39 |
5,81 |
7,55 |
8,47 |
9,41 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 23,4 и х02 = 50,2.
Вариант 2. F(x) = 5е18х
xi |
-0,2 |
0,03 |
0,1 |
0,22 |
0,32 |
F(xi) |
0,03 |
1,72 |
6,05 |
52,46 |
317,35 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 0,05 и х02 = 0,15.
Вариант 3. F(x) = х3 + 7x2 + 5х
xi |
-5,2 |
-2,5 |
0,8 |
2,4 |
4,1 |
F(xi) |
22,67 |
15,63 |
8,99 |
66,14 |
207,09 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 0,2 и х02 = 1,8.
Вариант 4.
xi |
-0,95 |
-0,5 |
-0,2 |
0,6 |
1,02 |
F(xi) |
284,29 |
15,64 |
2,83 |
0,07 |
0,02 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= -0,41 и х02 = 0,32.
Вариант 5. F(x) = ex
xi |
1,01 |
1,04 |
1,11 |
1,16 |
1,20 |
F(xi) |
2,75 |
2,83 |
3,03 |
3,19 |
3,32 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,031 и х02 = 1,152.
Вариант 6. F(x) = cos x
xi |
1,01 |
1,04 |
1,07 |
1,13 |
1,18 |
F(xi) |
0,53 |
0,51 |
0,48 |
0,43 |
0,38 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,022 и х02 = 1,145.
Вариант 7. F(x) = sh x
xi |
1,01 |
1,03 |
1,08 |
1,14 |
1,19 |
F(xi) |
1,19 |
1,22 |
1,30 |
1,40 |
1,49 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,053 и х02 = 1,172.
Вариант 8. F(x) = ln x
xi |
1,01 |
1,06 |
1,10 |
1,14 |
1,19 |
F(xi) |
0,01 |
0,06 |
0,09 |
0,13 |
0,17 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,032 и х02 = 1,171.
Вариант 9. F(x) = e-x
xi |
1,01 |
1,05 |
1,10 |
1,14 |
1,20 |
F(xi) |
0,36 |
0,35 |
0,33 |
0,32 |
0,30 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,028 и х02 = 1,172.
Вариант 10. F(x) = sin x
xi |
1,00 |
1,04 |
1,08 |
1,10 |
1,17 |
F(xi) |
0,84 |
0,86 |
0,88 |
0,89 |
0,92 |
По построенному интерполянту вычислить значения функции F(x) в точках х01= 1,058 и х02 = 1,124.