- •Содержание комплекса.
- •Примерный тематический план дисциплины “Численные методы”.
- •Содержание дисциплины “Численные методы”.
- •Тема 1. Численные методы решения нелинейных уравнений.
- •Тема 2. Аппроксимация функций. Интерполяция функций.
- •Тема 3. Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Численные методы решения дифференциальных уравнений.
- •Справочная литература.
- •Часть вторая. Конспект лекций по дисциплине “Численные методы”.
- •Лекция №1. Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.
- •Лекция № 2. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным.
- •Лекция № 3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
- •Лекция № 4. Интерполирование функций. Формула Лагранжа.
- •Лекция № 5. Интерполирование функций кубическими сплинами.
- •Лекция № 6. Численное дифференцирование.
- •Лекция № 7. Численное интегрирование.
- •Лекция № 8. Численные методы безусловной оптимизации.
- •Понятие о численном решении задачи Коши.
- •Часть третья. Вопросы к зачёту по дисциплине “Численные методы”.
- •Часть четвёртая. Примеры практических заданий к зачёту по дисциплине “Численные методы”.
- •Часть пятая. Варианты практических заданий зачёту по численным методам.
- •Варианты заданий для практической работы.
- •Задача № 2.
- •Задача № 3.
- •Задача № 4.
- •Задача № 5.
- •Задача № 6.
- •Задача № 7.
- •Задача № 8.
- •Задача № 9.
- •Задача № 10
- •Список используемой литературы:
Задача № 8.
Для функции F(x) найти значение производной в точках х01 = =1,6 ( х02 = 1,8) с шагом h1 = 0,1; a1=10 и h2 = 0,05; a2=20 с помощью формулы: F(x0) . Найти погрешность решения, используя формулу: . Погрешность найденного решения не должна превышать =0.01.
Для вариантов 1-5 найти значение производной в точке х01 = 1,6;
для вариантов 6-10 – в точке х02 = =1,8.
Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.
F(x) = 2sin x F(x) = -3 cos x F(x) = tg x
Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6.
F(x) = - ctg x F(x) = 4ln x F(x) = sin x
Вариант 7. Вариант 8. Вариант 9.
F(x) = -cos x F(x) =2 tg x F(x) = ln x
Вариант 10.
F(x) = 3ctg x
Задача № 9.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка на равномерной сетке отрезка [a,b] один раз с шагом h = 0,2, другой – с шагом 0,1 методами Эйлера, Эйлера-Коши и классическим методом Рунге – Кутта. Оценить погрешность численного решения по принципу Рунге. Сравнить численное решение с точным.
Указание по выполнению: для выполнения задания использовать следующие итерационные формулы:
метод Эйлера: р=1 – порядок метода, xi – узлы сетки отрезка [a,b], h – шаг разбиения; xi = xi-1+ h, yi = yi-1 + hf (xi-1, yi-1), i=1, 2, …., m.
метод Эйлера-Коши: р=2 – порядок метода, xi – узлы сетки отрезка [a,b], h – шаг разбиения; xi = xi-1+ h, yi = yi-1 + ∆ yi-1; ∆ yi-1= ; i = 1,2,…,m
3) метод Рунге-Кутта: р=4 – порядок метода, xi – узлы сетки отрезка [a,b], h – шаг разбиения; xi = xi-1+ h, yi = yi-1 + ∆ yi-1; ∆ yi-1= ;
i = 1,2,…,m; ,
, .
Для оценки погрешности найденного решения задачи Коши используют принцип Рунге (правило Рунге): εi
Вариант 1.
x=1
y = 0, 1 x 2,
Вариант 2.
x=0
y = 1, 0 x 1,
Вариант 3.
x=1
y = 0, 1 x 2,
Вариант 4.
x=0
, y = 1, 0 x 1,
Вариант 5.
x=1
y = 1, 1 x 2,Вариант 6.
x=1
y = 0, 1 x 2,
Вариант 7.
x=1
y = 0, 1 x 2,
Вариант 8.
x=0
y = 0, 0 x 1,
Вариант 9.
x=0
y = 0, 0 x 1,
Вариант 10.
y = -1, 0 x 1,
x=0