5º. (Теорема Кантора).

Непрерывная на компакте функция является равномерно непрерывной на этом компакте.

6º. Пусть функции определены в окрестности точки , а функция определена в окрестности точки . Тогда в некоторой окрестности точки определена композиция функций , причём является непрерывной в точке , если непрерывны в , а непрерывна в точке .

§7.3. Дифференцирование функций нескольких переменных.

Пусть функция определена в окрестности точки . Рассмотрим прямую , проходящую через точку в направлении вектора , т.е.

,

причём точка получается как точка прямой при . Поскольку точка является внутренней точкой окрестности , то отрезок прямой , получающийся при , содержится в .

def. Производной функции в точке в направлении вектора называется

, (1)

где . Таким образом, . (2)

В частности, если , то производная называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается , т.е.

Если использовать обозначения – приращение –й переменной,

– частичное приращение функции по переменной , то

. (3)

Из равенств (3) видно, что частная производная является обычной производной функции по переменной , если остальные переменные фиксированные. Это значит, что методы вычисления частных производных остаются теми же самыми, что и методы вычисления производных функции одной переменной.

Например,

.

def. Функцию называют дифференцируемой в точке , если она определена в некоторой окрестности , и существуют такие числа , что её приращение при можна представить в виде

, (4)

или

. (4.1)

Здесь .

Теорема 1 (Первое неабходимое условие дифференцируемости фнп в точке). Если функция является дифференцируемой в точке , то она непрерывна в этой точке.

□ Поскольку для функции имеет место равенство (4), то при получаем, что . Это и означает непрерывность функции в точке . ■

Теорема 2 (Второе необходимое условие дифференцируемости фнп в точке). Если функция является дифференцируемой в точке , то в этой точке существует производная в любом направлении . В частности существуют частные производные .

□ В формуле (4) возьмём приращение аргумента вдоль прямой , т.е. . Поскольку , получаем

. (5)

Из этого равенства имеем

. (6)

Существование производных в любом направлении доказали.

Если , то , и поэтому из равенства (6) следует

. ■

Следствие 1. Если функция является дифференцируемой в точке , то

при . (7)

Действительно, подставляя полученные в теореме 2 значения в формулу (4), приходим к равенству (7).

Следствие 2. Если функция является дифференцируемой в точке , то

. (8)

Действительно, подставляя полученные в теореме 2 значения в формулу (6), получаем (8).

def. Если функция является дифференцируемой в точке , то вектор называется градиентом функции в точке и обозначается .

Теперь равенство (8) можно записать как скалярное произведение двух векторов

. (9)

Согласно определению скалярного произведения двух векторов, имеем

.

Поскольку найбольшее значение правой части получается при , то является направлением наибольшего возрастания функции в точке .

Рассмотрим функцию трёх переменных и вектор . Введём символический вектор  – оператор Гамильтона:



и условимся, что векторы, стоящие слева от  , перемножаются с  согласно правил векторной алгебры, а на величины, стоящие справа, оператор  действует как дифференциальный оператор. Тогда = – дифференциальный оператор и ( ) = .

Формулу (8) можно записать через оператор Гамильтона:

( ) .

Замечание. Поскольку функция является разрывной в (см. Пр2 §7.2), то она не может быть дифференцируемой в точке . Однако частные производные для этой функции существуют в точке :

.

Это значит, что существование у функции частных производных в некоторой точке не является достаточным не только для яе дифференцируемости, но даже для непрерывности в этой точке (в отличии от ф1п).