Лемма (о знакоопределённой квадратичной форме). Если квадратичная форма является положительно определённой, то существует такое действительное число , что , где .

□ Рассмотрим квадратичную форму на сфере . Поскольку , а положительно определённая, то . Сфера является замкнутым ограниченным множеством в , а поэтому на основании теоремы Вейерштрасса

, приём .

Если , то , поскольку . Поэтому . Поскольку квадратичная форма является аднородной функцией степени 2, то . ■

Вопрос: Как сформулировать лемму для отрицательно определённой квадратичной формы?

Теорема 2 (дастаточное условие экстрэмума). Пусть функция имеет в окрестности точки частные производные второго порядка, непрерывны в точке , и пусть является стационарной точкой функции . Если второй дифференциал является положительно (отрицательно) определённой квадратичной формой, то – точка локального минимума (максимума) функции . Если же является неопределённой квадратичной формой, то функция не имеет экстремуму в точке .

□ Запишем формулу Тейлора для функции в окрестности точки для с остаточным членом в форме Пеано, учитывая, что :

(1)

Пусть является положительно определённой квадратичной формой. В силу леммы такой, что . Используем это неравенство в (1)

(2)

где . Поскольку является бесконечно малой функцией, то существует шар . Отсюда следует, что

.

Таким образом, – точка минимума функции (причём строгого).

Если является отрицательно определённой квадратичной формой, то для функции квадратичная форма является положительно определённой, и поэтому – точка минимума для , а тем самым – точка максимума для

( ).

Пусть является неопределённой квадратичной формой, т.е.

(3)

Рассмотрим функцию .

Эта функция является дифференцируемой, причём .

Поскольку является стационарной точкой и , то , а поэтому точка является стационарной для функции . Функция имеет в окрестности точки частные производные второго порядка, а поэтому функция имеет производную второго порядка, поскольку . При этом имеем . (4)

Из (4) и (3) получаем, что если , то . Это значит, что функция в точке при имеет минимум, и поэтому

.

Поскольку , то это означает, что , а тем самым

(5)

т.е. вдоль отрезка .

Если же , то из (4) и (3) имеем . Это значит, что функция в точке при имеет максимум, а поэтому

или ,

что приводит к неравенствам (6)

т.е. вдоль отрезка . Из неравенств (5) и (6) следует, что функция не имеет экстрэмума в точке . ■

Замечание. Теорема не даёт ответа на вопрос о существовании экстремума, если .

Пример. Исследуем на экстремум функцию .

► Из системы находим стационарные точки

. Вычислим и запишем . Рассмотрим . Матрица квадратичной формы имеет вид , т.е. квадратичная форма знаконеопределённая, точка не является точкой экстремума.

В точке имеем . Для исследования на знакоопределённость используем критерий Сильвестра:

.

Это означает, что точка является точкой минимума. ◄

68