- •Глава 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. §7.1. Пространство .
- •§7.2.Предел функции нескольких переменных.
- •Теорема. Для того чтобы последовательность метрического пространства сходилась к , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства или .
- •Пример 2. Функция является разрывной в точке , поскольку она не имеет предела в этой точке . Пример 3. Исследуем функцию на непрерывность в точке .
- •5º. (Теорема Кантора).
- •§7.3. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости фнп в точке). Если все частные производные определены в окрестности точки и непрерывны в , то функция – дифференцируемая в точке .
- •Теорема (Эйлера об однородных функциях ). Если однородная степени функция является дифференцируемой на , то
- •§7.5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Теорема (о смешанных производных). Если смешанные производные функции определены в некотоой окрестности точкаа и непрерывны в этой точке, то .
- •§7.6.Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
- •§7.7. Экстремум функций нескольких переменных.
- •Теорема 1 (неабходимое условие экстремума). Если функция является дифференцируемой в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то
- •Лемма (о знакоопределённой квадратичной форме). Если квадратичная форма является положительно определённой, то существует такое действительное число , что , где .
- •Пример. Исследуем на экстремум функцию .
Теорема (Эйлера об однородных функциях ). Если однородная степени функция является дифференцируемой на , то
(9)
□ Продифференцируем по тождество (8) Взяв в последнем равенстве , получаем (9). ■
§7.5. Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть во всех точках области функция имеет частную производную Если эта производная, как функция имеет в некоторой точке производную , то её называю частной производной второго порядка и обозначают или . Если , то пишу .
Для функции двух переменных можно записать четыре производные второго порядка: . Производные или называют смешанными производными.
Например, для функции имеем , т.е. .
Теорема (о смешанных производных). Если смешанные производные функции определены в некотоой окрестности точкаа и непрерывны в этой точке, то .
□ Рассмотрим прямоугольник , который содержится в указанной окрестности. Рассмотрим в функцию
Зафиксируем значение и рассмотрим на интервале функцию Эта функция на интервале имеет производную
Очевидно, что функцию можна представить следующим образом
Используя формулу Лагранжа, получаем
Если в правой части этого равенства рассмотреть разность в скобках как приращение функции одной переменной (первая переменная зафиксирована), то после применения к ней формулы Лагранжа получаем
(1)
Если далее функцию , то аналогично получаем
(2)
Из равенств (1) и (2) следует = (3)
Используя непрерывность смешанных производных и переходя к пределу в (3) при , получаем . ■
Замечание. Поскольку для функции переменных при вычислении смешанных производных и все переменные кроме и фиксируются, то фактически рассматривается функция двух переменных и поэтому для фнп смешанные производные второго порядка также равны в точке , если они непрерывны в этой точке.
Производные порядка выше второго определяются по индукции. Например, для функции частная производная –го порядка определяется в соответствии с равенством
Равенство смешанных производных любого порядка следует из теоремы о смешанных производных.
Например, покажем верность равенства для функции . Действительно, из равества следует
Пусть функция имеет в области непрерывные частные производные. Тогда (4)
Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Если в (4) зафиксировать , то функция из (4), которая в имеет непрерывные частные производные, является дифференцируемой. При этом её дифференциал имеет следующий вид
Его называют вторым дифференциалом функции в точке и обозначают . Таким образом,
(5)
Покажем, что второй дифференциал не имеет свойства инвариантности формы.
Пусть , а функции и имеют непрерывные частные производные второго порядка в соответствующих областях, где существует сложная функция . Поскольку первый дифференциал имеет свойство инвариантности формы, то
.
Тогда
(6)
Формула (6) отличается от (5) наличием слагаемого , которое обращается в нуль, если – независимые переменные.
Замечание. Если – линейные функции , то , т.е. второй дифференциал имеет свойство инвариантности формы относительно линейной замены.
Если функция двух переменных имеет непрерывные вторые частные производные, то с учётом равенства получаем
или в символической записи
Для функции аналагично получаем
По индукции определяется и для функции , если – независимые переменные. Символическая формула записи –го дифференциала приобретает вид
Так