30. Простейшие решения уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение движения идеальной жидкости и простейшие его решения.

Ур-ние движения идеальной жидкости получается, если в ур-ие движения сплошной среды подставить тензор на­пряжений идеальной жидкости. В результате получим . (8.51)

Оно содержит 5 неизвестных: три проекции скорости, плотность среды и давление. Трех проекций уравнения (8.51) недо­статочно для их определения. Поэтому уравнение (8.51) дополня­ется уравнением неразрывности и еще одним уравнением, в каче­стве которого обычно берется зависимость плотности от давления . Жидкость, плотность которой зависит только от давле­ния, называется баротропной жидкостью. Уравнение (8.51) явля­ется уравнением в частных производных и поэтому должно быть дополнено граничными условиями. Рассмотрим два простых ре­шения этого уравнения.

Если жидкость покоится, то уравнение (8.51) переходит в урав­нение гидростатики: . (8.52)

Для баротропной жидкости его можно записать в виде . (8.53)

В уравнении (8.53) справа стоит градиент. Поэтому это ур-­ние имеет решение только тогда, когда и слева стоит градиентный вектор, то есть когда сила имеет потенциал: . Тогда из равенства двух градиентов следует условие, которое позволяет найти давление в идеальной жидкости, находящейся в потенци­альном поле: . (8.54) Если потенциальное поле — это поле силы тяжести, жидкость несжимаема и ось OZ направлена вертикально вверх, то из (8.54) получим обычную формулу для давления жидкости, на­ходящейся в поле силы тяжести; , (8.55)

Найдем сейчас одно из частных решений ур-ия движения идеальной жидкости для случая движущейся жидкости. Полная производная по времени в левой части ур-ния (8.51) может быть записана . (8.56)

Если внешние силы потенциальны, то ур-ние (8.56) допускает безвихревое движение, когда , и, следовательно, вектор ско­рости имеет потенциал . Если жидкость баротропна, то при всех сделанных предположениях ур-ние движения идеаль­ной жидкости записывается в форме

. (8.57) Первым интегралом уравнения (8.57) является равенство . (8.58)

Функция определяется начальными данными. Решение (8.58) называется решением Коши. Если движение идеальной жидкости стационарно и все характеристики среды не зависят от времени, то решение Коши переходит в решение Бернулли: . (8.59) Для несжимаемой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, решение Бернулли принимает известный из элементарной физики вид: . (8.60)