§41. Геометрические и физические приложения

ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 41.1. Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или фи­зической величины .4 (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [«; 6] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина .4 аддитив­на, т. е. такая, что при разбиении отрезкз [а; Ь] точкой с £ (о; 6) на части

237

[а; с] и [с; Ь] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а:Ь]. равно сумме ее значений, соответствующих [а: с] и [с:Ы.

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками .Го = а, х\,..., х_п = b разбить отрезок [а:Ь] на п частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на и «элементарных слагаемых» Д.4,- (/' = 1 , п): А •- AA_t 4-ДЛ-_> +• • - + Д.4,,.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произве­дения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычислен­ной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: Д.4,- и f(c_t)Axj.

При нахождении приближенного значения АА,- допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы: _;1

А * /(а)Да:, + ■ • ■ + /(с„ )Д.г„ = ]Г /(г,)Д.т,.

3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

?! ft

^А= ,Й&.£Ло-)Д.т,= ff(x)dx.

(А->0) i-I '„

Указанный «метод сумм», как видим, основан па представлении интегра­ла как о сумме, бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была примешена для выяснения геометрического и физическо­го смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания беско­нечно малых высших порядков»:

1. на отрезке [а;Ь] выбираем произвольное значение х и рассматри­ваем переменный отрезок [а:х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины .4 есть неизвестная функция .4(.г), где х £ [а:Ь] один из параметров величи­ны А;

2. находим главную часть приращения Д.4 при изменении ,г на малую величину Ах — dx. т. е. находим дифференциал <1А функции А — А(х): <1А = f(x)dx. где /(:''). определяемая из условия задачи, функция пере­менной х (здесь также возможны различные упрощения):

3. считая, что dA т ДЛ при Д.г —> О, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до Ь:

h А(Ь)=Л= [ f(x)dx.

238

41.2. Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

> - I ydx.

К ак уже было установлено (см. «геометрический смысл определенно­го интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «вы­ше» оси абсцисс (f(x) J? 0). равна соответствующему определенному интегралу:

(41.1)

х)dx или S

Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), исполь­зуя схему П. Пусть криволинейная трапеция ограни­чена линиями у = f(x) J> 0, х — а, х — Ь. у = 0 (см. рис. 174). Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:

1. Возьмем произвольное х Е [а; ft] и будем считать, что S = S(x).

2. Дадим аргументу х приращение А.г = dx (х + Ах £ [a; ft]). Функ­ция S — S(x) получит приращение AS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения AS при Ах -> 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у ■ dx.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах ог х = « до .г -- ft,

получаем S

_h

dx.

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox (f(x) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

ну:

S

(41.2)

- /' fldx.

Формулы (41.1) и (41.2) можно объединить в од-

5 =

/ ydx

Рис. 175. Площадь фигуры, ограниченной кривыми у ~

= f\(x) и у = f-i(x). прямыми х — а н х = ft (при условии f-ii-i') ^ /i (■*')) (^см- Р^И('- 175). можно найги но формуле

S

I f₂(x) dx - I /, (X) dx = f(f₂(x) - /, (.,;)) dx

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 176), то пря­мыми, паратлельными оси Оу. ее следует разбить на части гак, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

239

о

ас d Ъ х

О

Z = y3(y)

Рис. 176.

Рис. 177.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у — d, осью Оу и непрерывной кривой х = '■р(у) ^ 0 (см. рис. 177), то ее площадь

d

находится но формуле S — xdy.

с

И , наконец, если криволинейная трапеция огра­ ничена кривой, заданной параметрически у

t е [а: /1}

х = x(t),

У = y(t),

прямыми х = а и х = Ь и осью Ох. то площадь ее находится по формуле

5 =

dt

} У(*)■*'(*)

где а и /3 определяются из равенств .г(а) = о и х(#) = Ь.

Рис. 178.

Пример ^1.1. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и гра­фиком функции у = х² — 2х при х £ [0: 3].

О Решение: Фигура имеет пид. изображенный па рисунке 178. Находим ее площадь S:

S = - [{х² - 2х) rfz + /(.г² - 2х) г/.г

+ х'

о 3

s 8 , 2? 8 8 2

= — Ч- 4 Ч Q + 4=-=2-

2 3^{+ +} 3 3 ⁺ 3 3'

Пример 41-2- Вычислить площадь фигуры, ограниченной -хтлипсом х = a cost, у = 6 sin i.

О Решение: Найдем сначала j площади S. Здесь х изменяется от 0 до о. следовательно, t изменяется от ~ до 0 (см. рис. 179). Находим:

240

жаЬ ~4~'

Рис. 179.

1

-S = / &sint • (—asint) eft =

Л-/2

О т/2

= -aft / sin² tdt=^- f (1 - cos 2t) dt =

ж/2

db ( J 1 „ 2\

Таким образом, т5 = ^Ор. Значит, S = 7га6.

Полярные координаты

Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ог­раниченной непрерывной линией г = r(ip) и двумя лучами if = а и if = /3 (а < 3), где г и if — полярные координаты (см. рис. 180). Для решения •задачи используем схему II — метод дифференциала.

1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла if, т. е. S = S(ip), где а ^ ip ^ (3 (если ^ = а, то S(a) — 0, еслиу = (3, то S(/?) = S).

2. Если текущий полярный угол if получит приращение Aip — dip, то приращение площади AS равно площади «элементарного криволиней­ного сектора» ОАВ.

Рис. 180.

Дифференциал dS представляет собой глав­ную часть приращения AS при dip —> 0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисунке она заштрихована) радиуса г с центральным углом 1-2

dip. Поэтому dS = kr² ■ dip.

а до if = (3,

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от ip получим искомую площадь

Пример ^1.3. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестко-вой розой» г = асохЗу? (см. рис. 181). .

О Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. ^ часть всей площади фигуры:

1 1 */⁶ , 1 7^/6i

-S=7 / (acos3<p)^J dip = -a² I -(1 + cos€>ip)dip =

Л-/6,

" / I""/^{0 x} • ^ If/Ox " /" r,\

7И0 +e^sm6^lo ) = T⁽6^{+0) =}

2

4~'

24

т. e. IS = ££-. Следовательно. S - ^m

7ra "2?'

241

о

р

Рис. 181.

Рис. 182.

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящи­ми из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так. для фи­гуры, изображенной на рисунке 182, имеем:

S=\jrl^-\jri_d^\jrl