- •Формула Ньютона-Лейбница 230
- •§ 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 272
- •§ 46. Экстремум функции двух переменных 274
- •Основные понятия 274
- •Глава VII. Неопределенный интеграл
- •§29. Неопределенный интеграл 29.1. Понятие неопределенного интеграла
- •29.2. Свойства неопределенного интеграла
- •29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§30. Основные методы интегрирования 30.1. Метод непосредственного интегрирования
- •30.3. Метод интегрирования по частям
- •§31. Интегрирование рациональных функции 31.1. Понятия о рациональных функциях
- •31.3. Интегрирование рациональных дробей
- •§32. Интегрирование тригонометрических функции 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •32.3. Использование тригонометрических преобразований
- •§33. Интегрирование иррациональных функций 33.1. Квадратичные иррациональности
- •33.2. Дробно-линейная подстановка
- •33.3. Тригонометрическая подстановка
- •33.5. Интегрирование дифференциального бинома
- •§34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
- •35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •§36. Геометрический и физический смысл определенного интеграла
- •§37. Формула ньютона-лейбница
- •§38. Основные свойства определенного интеграла
- •§39. Вычисления определенного интеграла
- •39.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •39.3. Интегрирование по частям
- •§40. Несобственные интегралы
- •40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
- •§41. Геометрические и физические приложения
- •41.2. Вычисление площадей плоских фигур
- •41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •41.4. Вычисление объема тела
- •41.6. Механические приложения определенного интеграла
- •§42. Приближенное вычисление определенного
- •42.1. Формула прямоугольников
- •42.2. Формула трапеций
- •42.3. Формула парабол (Симпсона)
- •Глава IX. Функции нескольких переменных Лекции 34-36 I
- •§43. Функции двух переменных 43.1. Основные понятия
- •43.2. Предел функции
- •43.3. Непрерывность функции двух переменных
- •§44. Производные и дифференциалы функции
- •44.2. Частные производные высших порядков
- •44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
- •44.5. Дифференциалы высших порядков
- •44.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •44.7. Инвариантность формы полного дифференциала
- •44.8. Дифференцирование неявной функции
- •§45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§46. Экстремум функции двух переменных 46.1. Основные понятия
- •46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
- •46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •143200, Г. Можайск, ул. Мира, 93
- •Концепции современного естествознания. Конспект лекций
- •Сборник задач по высшей математике
- •1 И2 части
- •Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
- •Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
Из определения дифференциала функции г = f(x; у) следует, что при достаточно малых \Ах\ и \Ау\ имеет место приближенное равенство
Az и dz. (44.6)
Так как полное приращение Дг = f(x + Ах;у + Ay) — f(x;y), равенство (44.6) можно переписать в следующем виде:
f{x + Ах;у + Ау) и f(x;у) + fx(x;у)Ах + fy(x;у)Ay. (44.7)
Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах. Пример 44-3. Вычислить приближенно 1,02301.
О Решение: Рассмотрим функцию z = ху. Тогда 1,02301 = (х + Ах)у+Ау, где х = 1, Да; = 0,02, у = 3, Ау = 0,01. Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя z'x и z'y: z'x = {xv)'x = у ■ xy~l, z'y = {xv)'y = xy ■ In x. Следовательно, 1,023'01 » lS + S-l^-O^ + lMn 10,01, т. е. 1,023-01 » 1,06.
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: 1,02301 и 1,061418168. •
Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.
44.5. Дифференциалы высших порядков
Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.
Пусть функция z — f(x; у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле d2z = d(dz). Найдем его:
й , (dz , dz d z = d\ —dx+ —i \ox ay
dz , dz , V , (dz , dz , V
d-xdx + Yydy)x-dx+\Txdx + d-ydy);dy =
d2z , d2z л J ( d2z , d2zJ\J
d^dx + dWxdy)'dx+\dxTydx + dY2dy)-dy-
o2 p\2 o2
Отсюда: d?z
= Ц-^dx2
+ 2
• 9 Z
dx ■ dy
+ ^-idy2.
Символически это
запи-
дхг dxdy " ду2
сывается так: 2
<j2z = \~dxdX+ d~dy) 'Z'
268
Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:
/pi pi \ о
d?z = d(d2z) - ( — dx + —dy \ox ay
где
(д J я у dA J з a2 J \jrxdx + Tydy) =d?dx +3d?dx
д3 ,, „ д2 ,2 д J д J д2 J 2 a3 J з
2 —dy + 3irdx ■ -Tr^dy2 + -rr^dy3
ду"а ' "дх~" dy2 y dy3
Методом математической индукции можно показать, что
dnz= ( — dx + -тг-dy J -z, n e N.
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х ну функции z = f(x;y) являются независимыми.
Пример 44-4- {Для самостоятельного решения.) Найти d2z, если z
= х3у2.
Ответ: d2z — бху2 dx2 + 12х'2у dx dy + 2х3 dy2.
44.6. Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z = f(x\y) — функция двух переменных хну, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z — f{x(t)\y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.
Теорема 44.4. Если z = f(x;y) — дифференцируемая в точке М(х;у) £ D функция w х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) — f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
dz _ dz dx dz dy
It "di"dt,+dy"dt' ()
Q| Дадим независимой переменной t приращение At. Тогда функции х = — x(t) и у — y(t) получат приращения Да; и Ау соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.
Так как по условию функция z = f(x\y) дифференцируема в точке М(х;у), то ее полное приращение можно представить в виде
dz . dz Л л „л
Az = — ■ Ах + — ■ Ау + аАх + /ЗАу, ох оу
где q -» 0, /? -» 0 при Да; —> 0, Ау —> 0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Az на At и перейдем к пределу при At -> 0. Тогда Да; ->• 0 и Ау -¥ 0 в силу непрерывности функций х — x(t) и у = y(t) (по условию теоремы —
269
они дифференцируемые). Получаем:
.. Az dz ,. Ах dz ,. Ay ,. ,. Ах ,. , ,. До
lim —— = -—-■ lira ——I- — - hm ——h lim a- lun ——I- hm .1- Jim —-, At->o At дх At-,o At dy Д(->о At дг^о д*->о At д*~+о д^-ш Д^
т. е.
dz 9г с?х dz dy dx dy
dt дх dt дх dt dt dt'
или
dz dz dx dz dy dt dx dt. dy dt
Частный случай: z = f(x;y), где у = y(x), т.е. z = f{x:y{x)) сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет г. Согласно формуле (44.8) имеем:
dz |
dz |
dx |
dz |
dy |
|
dz |
dz |
|
dz |
dx, |
Z |
— |
|
-1 |
|
или |
- |
— |
+ |
|
|
dx |
dx |
dx |
dy |
dx |
|
dx |
dx |
|
dy |
dx |
(44.9)
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: z = f(x;y), где х = x(icv), у = ;»(«; v). Тогда z — = f(x(u\v);y(u;v)) — сложная функция независимых переменных // и v. Ее частные производные Ф и Ф можно найти, используя формулу (44.8)
dz dx dy
du dv
еоответ-
dt
и
dz дх
дц. du'
du'
du'
ствующими частными производным
dz _ dz dx dz dy du dx du dy du'
(44.10)
Аналогично получаем: Ф = Ф ■ Ф + Ф ■ -Л. J dv dx dv dy dv
Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (и и г).
Пример 44-5- Найти Ф и Ф, если z = 1п(х2 + у2), х = и ■ /;, у = ".
'dv 1
ди
dz_ du
(44.10):
2х ■ v +
ь
2 2
X +У
1 х* + V2
270
Упростим правую часть полученного равенства:
dz 2 / у\ 2 / и
— -Т7 [ X ■ V + - = -7 ■ [ UV ■ V +
du х2+у2 \ «У /и\2 Г ' ' (си
(uvy +
2v- и ■ (t>4 + 1) _ 2
u2{vA + 1) и2 ~ й'
т е 9г = 2