- •Формула Ньютона-Лейбница 230
- •§ 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 272
- •§ 46. Экстремум функции двух переменных 274
- •Основные понятия 274
- •Глава VII. Неопределенный интеграл
- •§29. Неопределенный интеграл 29.1. Понятие неопределенного интеграла
- •29.2. Свойства неопределенного интеграла
- •29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§30. Основные методы интегрирования 30.1. Метод непосредственного интегрирования
- •30.3. Метод интегрирования по частям
- •§31. Интегрирование рациональных функции 31.1. Понятия о рациональных функциях
- •31.3. Интегрирование рациональных дробей
- •§32. Интегрирование тригонометрических функции 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •32.3. Использование тригонометрических преобразований
- •§33. Интегрирование иррациональных функций 33.1. Квадратичные иррациональности
- •33.2. Дробно-линейная подстановка
- •33.3. Тригонометрическая подстановка
- •33.5. Интегрирование дифференциального бинома
- •§34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
- •35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •§36. Геометрический и физический смысл определенного интеграла
- •§37. Формула ньютона-лейбница
- •§38. Основные свойства определенного интеграла
- •§39. Вычисления определенного интеграла
- •39.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •39.3. Интегрирование по частям
- •§40. Несобственные интегралы
- •40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
- •§41. Геометрические и физические приложения
- •41.2. Вычисление площадей плоских фигур
- •41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •41.4. Вычисление объема тела
- •41.6. Механические приложения определенного интеграла
- •§42. Приближенное вычисление определенного
- •42.1. Формула прямоугольников
- •42.2. Формула трапеций
- •42.3. Формула парабол (Симпсона)
- •Глава IX. Функции нескольких переменных Лекции 34-36 I
- •§43. Функции двух переменных 43.1. Основные понятия
- •43.2. Предел функции
- •43.3. Непрерывность функции двух переменных
- •§44. Производные и дифференциалы функции
- •44.2. Частные производные высших порядков
- •44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
- •44.5. Дифференциалы высших порядков
- •44.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •44.7. Инвариантность формы полного дифференциала
- •44.8. Дифференцирование неявной функции
- •§45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§46. Экстремум функции двух переменных 46.1. Основные понятия
- •46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
- •46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •143200, Г. Можайск, ул. Мира, 93
- •Концепции современного естествознания. Конспект лекций
- •Сборник задач по высшей математике
- •1 И2 части
- •Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
- •Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
44.7. Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать. что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z = f(x;y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Q| Пусть z = /(х; у), где хну —- независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид dz = Ф^- ■ dx + §р ■ dy
(формула (44.5)).
Рассмотрим сложную функцию z = f(x;y), где х — x(u:v), у = y(u;v). т.е. функцию z = f(x(u;u);y(u;v)) = F(u;v), где unv — независимые переменные. Тогда имеем:
3F J OF , dz dz
dz = —— ■ du + —- • dv = — ■ du + — ■ dv =
on dv du dv
dz dx dz dy\ (dz dx dz dy\
dx du dy du) \dx dv dy dv J
dz f dx , dx \ dz (dy dy
= tt ■ { ^r ■ du + — ■ dv + — —- ■ du + ~- ■ dv dx \du dv J dy \du dv
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(щ v) и у — y(u;v). Следовательно, и в этом случае,
, дг , дг , dz = — ■ dx + —- ■ dy.
dx dy
44.8. Дифференцирование неявной функции
Функция z = f(x;y) называется неявной, если она задается уравнением
F{x:y;z) = 0, (44.11)
неразрешенным относительно z. Найдем частные производные j^- и тт-
неявной функции z. заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в
271
уравнение вместо z функцию f(x; у), получим тождество F(x; у; f(x; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:
д _. „ .. dF dF дг п. Q-F(x;y,f{x;y)) =я_ + "я~я_=0(2/" считаем постоянным),
д _. t. ,, OF dF dz n.
—t (x; y; f(x; y)) = ——f- -7— • 7— = 0 (x — считаем постоянным), ay ay dz ay
откуда , _,
dz F' dz F'
Замечания.
а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х2 + у'2 + z2 — 4 = 0 опре деляет функции z\ = у/4 — х2 — у2 тл Z2 — — у/4 — х2 — у2, определенные в круге х2 + у2 ^ 4, 2з = \/4 — х2 — у2, определенную в полукруге х2 + у2 <С 4 при у ^ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2y + 3z) — 4 = 0 не определяет никакой функции.
Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x;у; z) и ее производные F'x(х; у; z), F'{x; у; z), F'z{x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки М0(х0;Уо;го), причем F(x0;y0\z0) = 0, a Fl(x0;y0\ z0) Ф 0, то существует окрестность точки Мо, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z = f(x;y), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х0;уо) и такую, что f(x0;yo) = ЗД.
б) Неявная функция у — f(x) одной переменной задается уравнением F(x;y) = 0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, ана логичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле
'к
(К ф о).
Пример 44-6- Найти частные производные функции z, заданной уравнением е~ + z — х2у + 1 = 0.
О Решение: Здесь F(x;y;z) = ez + z - х2у + 1, F'x = -2ху, F'y - -х2, Fl = ez + 1. По формулам (44.12) имеем: || = +^^J. §^ = ~^-J- •
Пример 44-1 ■ Найти -Д, если неявная функция у = f(x) задана уравнением у3 + 2у = 2х.
О Решение: Здесь F(x; у) = у3 + 2у - 2х, F'x = -2, F'y = Зу2 + 2. Следова-
i -2 dy 2 а
тельно, у'
— - .
л "
, т. е. -f-
— -—5—г
• •
272