Вопрос 16 (с.37-41)

Уравнения и свойства эвольвентной боковой поверхности зуба.

Боковой профиль зуба колеса - эвольвентный. Эвольвенту описывает точка М(рис. 5.1), закрепленная на прямой МК (воспроизводящая прямая), при качении без проскальзывания этой прямой по неподвижной окружно­сти (основная окружность).

Из кинематики следуют основные свойства эвольвенты:

1. Эвольвента расположена вне основной окружности (внутри ее не может быть).

2. Отрезок МК является радиусом кривизны эвольвенты в произ­вольной точке Ми ее нормалью в этой точке. Отрезок М₁К₁, проведенный через любую точку М₁ эвольвенты касательно к основной окружности, яв­ляется радиусом кривизны эвольвенты в точке М₁.

3. Нормаль к эвольвенте в любой точке М₁ касается основной окруж­ности в точке К₁.

4. Эвольвента - разворачивающаяся кривая, поскольку радиус кри­визны по мере возрастания а неограниченно увеличивается (а - угол развернутости эвольвенты в точке М), r_b - радиус основной окружности.

Получим уравнение эвольвенты: или откуда (5.2) инволюта a (inv a) - табличная функция, а θ - эвольвентная функция угла а. Из рис. 5.1 полярный радиус: (5.3)

Выражения (5.2) и (5.3) - параметрические (параметр а) уравнени эвольвентного профиля в полярных координатах с полярной осью М₀О полярным (эвольвентным) углом θ.

5. При возрастании r_b радиус кривизны эвольвенты МК увеличивает ся при любых a, а при он составляет .

Таким образом, у зубчатой рейки боковая поверхность эвольвентно го зуба очерчена прямой. Это имеет большое значение при конструиров-нии зуборезного инструмента.

Зубчатые передачи пришли на смену фрикционным (рис. 5.2).

Если пренебречь скольжением, то: , откуда - передаточное отношение от ведущего колеса 1 (шестерни) к ведомому колесу (называется колесом): если радиусы r_w1 и r_w2 не изменяются.

Передаточное отношение - отношение угловых скоростей - являет­ся основным кинематическим параметром любой передачи. Оно показывает, сколько оборотов нужно сделать ведущему колесу для одного оборота ведомого колеса, либо во сколько раз передача снижает обороты.

Во фрикционной передаче, чтобы передать значительные мощности, необходима большая сила прижатия катков Q. Но сила Q ограничена контактной прочностью материалов в точке К.

В зубчатых передачах не требуется большой силы Q, т.к. передача уси­лия осуществляется боковыми поверхностями зубьев (а не за счет сил трения).

У зубчатых колес окружности радиусов r_wl и r_w2 являются вообра­жаемыми; их называют начальными. Эти окружности перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами в относительном вра­щении. Введем в зацепление два эвольвентных профиля (рис. 5.3). К - точка контакта эвольвентных профилей зубьев.

Эвольвенты - гладкие прямые, т.е. имеют общую касательную и об­щую нормаль. Две полунормали к ним в точке К касаются основных ок­ружностей и являются общей нормалью к эвольвентам в точке их касания. Перпендикуляры 0₁N₁ и 0₂N₂ - радиусы r_b1 и r_Ь2 основных окружностей.

Вдоль общей нормали N_XN₂ передаются силы между зубьями. Общая нормальная скорость:

направлена по линии зацепления N₁N₂.

Отсюда: Но, из подобия прямоугольных треугольников O₁ПN1 и 0₂ПN_г следует:

Поэтому:

1. Точка П - полюс зацепления (0₁П и O₂П - начальные радиусы r_w1 и r_w2 колес).

2. Чтобы боковые профили зубьев обеспечивали постоянство пер даточного отношения, общая нормаль к ним в точках зацепления должна проходить через полюс зацепления П (основной закон зацепления).

3. Передаточное отношение определяется отношением и не меняется, если

4. С изменением межосевого расстояния в беззазорном эвольвентном зацеплении меняется лишь угол зацепления a_w.

Для нулевых колес а₀ - 20°. По условию, что шаги (модули) как распределение шага между толщиной выступа и шириной впадины по начальным окружностям должны быть одинаковы, на роль последних могут претендовать лишь делительные окружности.

Поэтому:

Передаточному отношению пары колес приписывают знак: «+» - вращаются в одном направлении (при внутреннем зацеплении «-» - вращаются в противоположных направлениях (при внешнем зацеплении).

При зацеплении боковых поверхностей зубьев, точка их контакта ремещается по общей касательной к основным окружностям колес, ко рая называется линией зацепления. Кинематически передача движения одного эвольвентного зуба к другому аналогична передаче его нерастяжимой нитью с катушки радиусом r_b1 на катушку радиуса r_Ь2. Вдоль этой нити передаются усилия, как и по линии зацепления. При изменении межосевого расстояния передаточное отношение не изменяется, т.к. радиусы катушек при этом не изменяются, но изменяется наклон нити к линии межосевого расстояния 0₁0₂ (т.е. изменяется угол зацепления а).

Вопрос №17

Основной закон в эвольвентном зубчатом зацеплении .Коэффициент перекрытия.

1)Простейшие зубчатые механизмы применялись еще в древнейшие времена, например, для передачи движения с водяного колеса на жернов. Профиль зубьев мог быть любым, выдерживался только постоянный шаг. Увеличение быстроходности передачи потребовало соответствующего профилирования зубьев. При случайном выборе профиля зубьев мгновенное передаточное отношение переменно, что недопустимо, т. к. колебания скорости выходного звена вызывают инерционные нагрузки, удары в передаче. Профиль зубьев должен быть таким, чтобы угловая скорость выходного звена была строго постоянной. Чтобы ответить на вопрос, каким должен быть профиль, вначале познакомимся с основным законом зацепления. Нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, делит межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих профилей. Требуется доказать, что O1P / O2 P =ω2 / ω1 (рис.5.4)

Через точку А проведем нормаль N – N и касательную Т – Т и разложим скорости точек А1 и А2 на эти направления. Заметим, что v1 = ω1 r1, v2 = ω2 r2. Кроме того, - из условия отсутствия вдавливания профилей или их размыкания. Тангенциальные составляющие , что обусловливает скольжение профилей. Из подобия треугольников и O1B1A следует:

. Из подобия треугольников

Откуда получим ω1 rb1 = ω2 rb2 Из подобия треугольников O1B1P и O2B2P следует rb1 / rb2 = O1P / O2P. С учетом записанных выше соотношений получим ω1 / ω2 = O2P / O1P, что и требовалось доказать. Следствие основного закона зацепления: для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, пересекала межосевую линию в постоянной точке (полюсе зацепления). Иными словами требуется неизменность положения полюса.

2) Коэффициент перекрытия. Одной из важнейших качественных характеристик зацепления является коэффициент перекрытия. Он характеризует плавность зацепления колес. Коэффициент перекрытия равен отношению угла перекрытия φα к угловому шагу τ: εα= φα / τ (5.3) Угол перекрытия есть угол поворота зубчатого колеса от положения входа зуба в зацепление до положения выхода из зацепления. Его можно определить, рассмотрев два положения зуба – в момент входа и в момент выхода из зацепления (рис. 5.16).

Угол перекрытия должен быть больше углового шага. Благодаря этому первая пара зубьев еще не успевает разомкнуться (придти в точку в) как вторая пара зубьев входит в зацепление. Таким образом, существуют периоды двухпарного зацепления. Это обеспечивает непрерывность зацепления. Чем больше εα, тем плавнее работает передача. Установим зависимость εα от параметров зацепляющихся колес. Умножим числитель и знаменатель формулы (5.3) на rb - радиус основной окружности. С учетом 4 – го свойства эвольвенты(4.свойство эвольвенты : Расстояние между эквидистантными эвольвентами равно длине соответствующей дуги основной окружности)

φα rb1 = ab, кроме того, τ1 rb1 = pb - шаг зубьев по основной окружности, следовательно, получим формулу: εα = ав / pb (5.4) Формулу (5.4) можно использовать, если построена картина зацепления, на которой можно замерить длину активной линии зацепления ав.

Вопрос №18

Кинематика изготовления зубчатых колёс. Способ исправления зубьев. Минимальное число зубьев некорригированного колеса.

1)Существуют три способа изготовления зубчатых колес: способ копирования , способ обката и способ накатки зубьев. 1) Способом копирования дисковой или пальцевой фрезой на обычном фрезерном станке вырезается впадина между зубьями Поскольку в зависимости от числа зубьев размеры впадины при одном и том же модуле изменяются, нужно иметь очень много фрез. На практике одной фрезой нарезаются колеса в некотором диапазоне чисел зубьев, указанном на фрезе, что не очень точно. Неточность может быть исправлена последующей шлифовкой. Способ копирования недостаточно производителен, т.к. в работе находится один зуб, много времени тратится на перестановку заготовки. Поэтому способ применяется в единичном и мелкосерийном производстве, при нарезании неответственных, тихоходных колес.2) Способ накатки применяют при возможности размягчения заготовки например , если она из термопластичной смолы. Инструмент- зубчатая рейка с зубьями для деформирования впадин колеса. У рейки боковые поверхности зубьев прямолинейные. Это упрощает процесс их затачивания, а заготовку выполняют по окружности выступов и свободно закрепляют на оправке. Инструмент вдавливают в заготовку по всей высоте зуба. На заготовке получают зубья с модулем инструментальной рейки. 3)Способ обкатки аналогичен предыдущему способу и применяется для твёрдых материалов. Рейка инструмента с заточенными прямолинейными боковыми кромками подаётся вплотную к заготовке, а затем её дальнейшее продвижение осуществляют небольшими продольными перемещениями, сопровождаемые движением строгания заготовки в направление образующих боковых поверхностей зуба. При этом заготовка получает движениеот самостоятельного привода, обеспечивающего качение без скольжения делительной окружности заготовки по делительной прямой инструментальной рейки Преимущества метода : можно одним инструментом нарезать все колёса одного модуля, высокая точность и производительность. Недостатки : требуется специальное оборудование.

2) Число зубьев шестерни и колеса- исходный параметр для выполнения прочностных расчетов зубчатых передач. Минимальное число зубьев шестерни обычно ограничивается условием неподрезания. ,для прямозубых некорригированных шестерен и колёс стандартного профиля Zmin = 17

3) Корригирование зубчатых колёс , приём улучшения формы зубьев эвольвентного зубчатого зацепления. При нарезании зубчатых колёс исходный стандартный контур производящей рейки смещают в радиальном направлении так, что её делительная прямая не касается делительной окружности колеса. При этом можно использовать нормальный реечный зуборезный инструмент(гребёнку, червячную фрезу и т. п.) или долбяки. Обработку ведут на зубообрабатывающем станке методом обкатки (см. Зубонарезание), нарезая колёса с требуемым смещением исходного контура. Корригирование зубчатых колес появилось как средство устранения нежелательного подрезания ножки зуба у колёс с малым числом зубьев из-за несовершенства инструмента. Современное корригирование зубчатых колес имеет более общее значение и практически выражается в преднамеренном смещении исходного контура, которое является одним из основных геометрических параметров зубчатых колёс. Смещение от центра колеса может быть отрицательным или положительным (рис. 1). В случае положительного смещения для профиля зубьев используются участки эвольвенты с большими радиусами кривизны, что повышает контактную прочность зубьев, а также увеличивает их прочность на излом. Корригирование зубчатых колес может быть использовано для повышения качества зацепления как двух колёс, так и зацепления колеса с рейкой. Целесообразный выбор смещений может уменьшить скольжение зубьев друг по другу, снизить их износ, уменьшить опасность заедания и повысить кпд передачи. Корригирование зубчатых колес позволяет изменять межосевые расстояния в зубчатых передачах, что даёт возможность решать ряд важных конструктивных задач. Например, в коробках скоростей, планетарных механизмах и др. можно разместить между двумя валами передачи, у которых одно и то же колесо входит в зацепление с колёсами, имеющими разные числа зубьев, или при ремонте нестандартные зубчатые передачи можно заменять стандартными.

Вопрос №19

Виды и кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями колёс

Зубчатые механизмы содержат в своем составе зубчатые колеса. На рисун-

ке 2.1 показаны схемы различных соединений зубчатых колес с валом.

Зубчатые механизмы служат для передачи вращательного движения от од-

ного звена (входного) к другому (выходному).

Зубчатые механизмы делятся в зависимости от взаимного расположения

валов на следующие виды:- с параллельными валами (передачи с цилиндрическими колесами),- с пересекающимися валами (передачи с коническими колесами),- со скрещивающимися валами (червячные передачи).

На рисунке 2.2 изображены схемы некоторых простейших зубчатых механизмов

Основной характеристикой зубчатого механизма является его передаточное

отношение. Передаточным отношением механизма называется отношение угловой

скорости входного звена к угловой скорости выходного т.е.

Для простейших зубчатых механизмов, состоящих из пары колес передаточное отношение равно обратному отношению чисел зубьев колес, т.е. где z1 и z2 - числа зубьев шестерни и колеса. В плоских зубчатых механизмах передаточному отношению приписывается знак «плюс» (+), если направления вращения входного и выходного валов совпадают между собой, и знак «минус (-) - в противном случае. Для пространственных зубчатых механизмов вопрос о знаке передаточного отношения не ставится

Вопрос №20

Червячная передача. Устройство, кинематика и синтез.

Червячной - называется зубчатая передача, состоящая из двух подвижных звеньев - червяка и зубчатого колеса и предназначенная для передачи и преобразования вращательного движения между ортагональными перекрещивающимися осями. Червяком называют звено, наружная поверхность которого имеет форму винта. Червячным колесом называется зубчатое колесо с косыми зубьями, которое зацепляется с червяком. Червяк представляет собой винт со специальной резьбой, в случае эвольвентного профиля колеса форма профиля резьбы близка к трапецеидальной. На практике применяются однозаходные, двухзаходные и четырёхзаходные червяки. Червячное колесо представляет собой зубчатое колесо. В технологических целях червячное колесо, как правило, изготовляют составленным из двух материалов: венец — из дорогого антифрикционного материала (например из бронзы), а сердечник — из более дешёвых и прочных сталей или чугунов. Входной и выходной валы передачи скрещиваются, обычно (но не всегда) под прямым углом. по виду делительной поверхности червяка

1)цилиндрические червячные передачи - червяк и колесо в передаче имеют цилиндрические делительные и начальные поверхности;

2)глобоидные червячные передачи - делительная и начальная поверхности червяка образованы вращением отрезка дуги делительной или начальной поверхности парного червячного колеса вокруг оси червяка;

по виду теоретического торцового профиля витка червяка

1)архимедов червяк (ZA) - профиль выполнен по архимедовой спирали;

2)эвольвентный червяк (ZI) - профиль выполнен по эвольвенте окружности;

3)конволютный червяк (ZN) - профиль выполнен по удлиненной эвольвенте

Функционирование: Передача предназначена для существенного увеличения крутящего момента и, соответственно, уменьшения угловой скорости. Ведущим звеном является червяк. Червячная передача без смазки и вибрации обладает эффектом самоторможения и является необратимой: если приложить момент к ведомому звену (червячному колесу), из-за сил трения передача работать не будет. Передаточные отношения i червячной передачи закладываются в пределах от 8 до 100, а в некоторых приложениях — до 1000

Передаточное отношение червячной передачи определяется по формуле:

U = Uk / Uч, Где Uк - число зубьев колеса, Uч – число зубьев (заходов) червяка. Для однозаходного червяка передаточное отношение равно числу зубьев червячного колеса, что и объясняет большое передаточное отношение червячных передач.

Пусть Zч- число заходов червяка, h=P*Zч- ход винтовой линии, P- шаг витков. При повороте червяка на угол αч=2*π, делительная окружность червячного колеса перекатывается по образующей делительного цилиндра червяка на величину хода h, и червячное колесо поворачивается на угол : αк=h/(0.5*dк)=2* h/(m*Zк).Делительные диаметры dк=m*Zк и dч=q*m, где q=8—12- число модулей в делительном диаметре.

Вопрос №21

Назначение, виды и устройство эпициклических зубчатых механизмов.

Эпициклические зубчатые механизмы бывают дифференциальными, планетарными и замкнутыми дифференциальными. Эпициклические зубчатые механизмы , т е зубчатые механизмы , в составе которых имеются подвижные оси зубчатых колёс со степенью подвижности , равной единице называются планетарными. Если степень подвижности эпициклического механизма больше единицы , то такой механизм называется дифференциальным (дифференциалом). В любом эпициклическом механизме в качестве звеньев используются только сателлиты , солнечные колёса и водила. Другие звенья образуют между собой кинематическую цепь, которая соединена с эпицеклическим механизмом. Ось вращения водилы всегда совпадает с осями солнечных колёс и называется центральной осью механизма Так как планетарные механизмы имеют степень подвижности равной единице, то они представляют собой обычные зубчатые механизмы с одним ведущим и одним ведомым звеном. Назначение планетарных механизмов – создавать требуемые передаточные отношения. Дифференциальные механизмы не имеют передаточного отношения так как при одном ведущем звене они обладают неопределённостью движений. Их назначение сложение и разделение движений.

А)Дифференциал предназначен для распределения крутящего момента между ведущими колесами и позволяет вращаться колесам с разными угловыми скоростями.

Дифференциалы по конструкции делятся на шестеренчатые, кулачковые и червячные.

Шестеренчатые дифференциалы по типу используемых зубчатых колес могут быть коническими и цилиндрическими.

По крутящим моментам на выходных валах дифференциалы делятся на симметричные (крутящий момент поровну распределяется между выходными валами) и несимметричные.

По распределению крутящего момента дифференциалы могут быть:

• с постоянным распределением — конические и цилиндрические;

• с непостоянным распределением — с принудительной блокировкой и самоблокирующиеся, а также пульсирующие, свободного хода (обгонные) и повышенного трения.

Б) К типовым планетарным механизмам относятся: 1) однорядный планетарный механизм; 2) двухрядный планетарный механизм с одним внешним и одним внутренним зацеплением; 3) двухрядный планетарный механизм с двумя внешними зацеплениями; 4)двухрядный планетарный механизм с двумя внутренними зацеплениями Элементы планетарного механизма имеют специальные названия

1)зубчатое колесо с внешними зубьями, расположенное в центре механизма называется “солнечным“; 2) колесо с внутренними зубьями называют “короной“ или “эпициклом“;

3) колеса, оси которых подвижны, называют “сателлитами“; 4) подвижное звено, на котором установлены сателлиты, называют “водилом“. Звено водила принято обозначать не цифрой, а латинской буквой h.

В) Замкнутые дифференциальные зубчатые механизмы представляют собой дифференциальный механизм, у которого между теми или иными двумя звеньями установлена кинематическая связь, например в виде фрикционной муфты. Связь снижает степень подвижности дифференциала до единицы. Замкнутые дифференциалы широко используются в коробках переменных передач.

Вопрос №22

Кинематика планетарной передачи

Планетарные механизмы получаются из дифференциальных путём закрепления одного из центральных колёс.

Для передачи, изображенной на рис. 1.1., имеем: передаточное отношение при : передаточное отношение планетарной передачи :

угловые скорости звеньев:

Планетарные механизмы применяют для получения больших передаточных отношений.

Рассмотрим другой вид планетарной передачи: Для передачи, приведенной на рис. 1.2, имеем передаточное отношение при :

передаточное отношение планетарной передачи:

угловые скорости звеньев:

Вопрос №23

Кинематика дифференциального механизма

На рис. 4 показаны дифференциальные механизмы: а, б – с цилиндрическими колесами, в, г – с коническими колесами. Последний дифференциальный механизм называют коническим дифференциалом. В этих механизмах должны быть заданы два независимых движения, чтобы третье движение было определенным, например, ω1 и ω2 – заданные движения ведущих звеньев, ωВ – зависимое движение ведомого звена – водила. Определение угловой скорости ведомого звена при заданных движениях ведущих звеньев производят обычно с помощью обращенного движения. Сущность этого способа заключается в следующем. 1. Дадим всему механизму угловую скорость, равную скорости водила, но противоположно направленную (–ωВ). Получим обращенный механизм. На рис. 4 рядом с дифференциальными механизмами справа показаны их обращенные механизмы, для которых: ω1,о = ω1 – ωв, ωв,о = ωв – ωв =0, ω4,о = ω4 – ωв, т. е. в обращенном механизме водило неподвижно (и не изображается). Здесь ω1,О , ωВ,О , ω4,О – скорости звеньев обращенного механизма. 2. Для обращенного механизма определим передаточное отношение между двумя звеньями: первым и последним, в данных механизмах – четвертым.

Передаточное отношение обращенного механизма будем помечать дополни-

тельным индексом «о». С учетом (1) запишем

В этом выражении показатель степени «k» определяет знак передаточного

отношения i1-4,о , который необходимо учитывать. На рис. 4а звенья 1 и 4 в об-

ращенном механизме вращаются в одну сторону, k = 2, передаточное отношение считается положительным. На рис. 4б звенья 1 и 4 вращаются в разные стороны, k = 1 и передаточное отношение считается отрицательным. Направление движения звеньев в обращенных механизмах определяется по «правилу стрелок». Стрелки на колесах показывают направление перемещения расположенных ближе к наблюдателю зубьев колес. Для цилиндрических дифференциальных механизмов показатель степени «k» можно считать равным числу внешних зацеплений, поскольку внешнее зацепление изменяет направление вращения, тогда как внутреннее – не изменяет (рис. 1). Из выражения (2) определяется неизвестное движение дифференциального механизма ωВ.

Аналогично определяется скорость ω4 при заданных ω1, ωВ и скорость

ω1 – при заданных ω4, ωВ. Следует помнить, что заданные угловые скорости

подставляются в выражение (2) со своими знаками. Для конического дифференциала (рис. 4г) выполняется следующее конструктивное условие: z1 = z4, z2 = z3. Колесо z3 необходимо здесь для уравновешивания вращающихся масс и разгрузки валов и опор от сосредоточенных сил. Выражение (2) преобразуется в следующее:

Полученная формула показывает, что конический дифференциал позволяет механически производить операцию сложения или вычитания скоростей.

Вопрос №24

Условия синтеза эпициклических механизмов. Условие соосности.

Синтез планетарного механизма сводится к подбору чисел зубьев, обеспечивающих основные требования к нему.Важнейшее требование к планетарным механизмам- обеспечить заданноне передаточное отношение. Синтез начинают с выбора схемы передачи. Все схемы содержат два центральныхсоосных зубчатых колеса(одно закреплено), сателлитные блоки между ними и водило. Различают механизмы по виду зацепления сателлитного блока с центральными колёсами- внешнее, внутреннее и смешанное. С увеличение передаточного отношения уменьшается КПД передачи. При невозможности получить необходимое передаточное отношение за счёт одного механизма, применяют спаренные передачи. Выбрав схему осуществляют синтез ( подбор чисел зубьев). Числа зубьев должны удовлетворять следующим условиям синтеза:

1)кинематическое условие; 2) условие соосности; 3) условие соседства; 4) условие сборки; 5) условие правильного зацепления. Физический и математический смысл одного из условий разберём на конкретной схеме планетарного механизма с нулевыми эвольвентными цилиндрическими колёсами Условие соосности требует, чтобы оси колёс 1 и 4, в данном случае , совпадали для обеспечения зацепления сателлитов с центральными колёсами. Для этого необходимо, чтобы выполнялось соотношение радиусов делительных окружностей

а при одинаковых модулях всех колёс:

То есть по этому условию центральные колёса сосны с водилом.