Кинетическая энергия вращения

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением.

Возьмем абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1). Разобьем тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂,..., m_n , находящиеся на расстоянии r₁, r₂,..., r_n от оси.  При вращении твердого тела относительно неподвижной оси каждый из его элементарных объемов массами m_i опишет окружность соответствующих радиусов r_i; при этом объем будет иметь соответствующую линейную скорость v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:   (1)  Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:   или    Используя выражение (1), получаем    где J_z - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела   (2)  Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии поступательно движущегося тела (T=mv²/2), мы видим, что момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.  В качеcтве примера напишем формулу для плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения. Его энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:    где m - масса катящегося тела; v_c - скорость центра масс тела; J_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω - угловая скорость тела.

Билет 18

Отдача - передача импульса частям системы при ее разделении на составные части или распаде. Отдача является частным проявлением закона сохранения импульса (количества движения).

Явление отдачи наиболее наглядно проявляется в механических системах, которые распадаются на две или более части в результате, например, взрыва. При истечении газа из сопла реактивного двигателя также имеет место явление отдачи. В результате отдачи различные части системы приобретают некоторый импульс. При стрельбе из артиллерийского орудия, как снаряд, так и само орудие обладают импульсом. При этом говорят, что орудие испытывает отдачу при выстреле. Расчет импульса, приобретаемого частями механической системы, может быть проведен на основе законов сохранения импульса и механической энергии. Условия, необходимые для выполнения этих законов, не всегда выполняются. Закон сохранения импульса в механической системе выполняется, если система замкнутая. Покажем, как рассчитать отдачу при артиллерийском выстреле. Механическую систему  орудие - снаряд можно рассматривать как квазизамкнутую систему. В результате сгорания пороха в гильзе снаряда возникают большие силы давления продуктов сгорания. Эти силы для рассматриваемой системы являются внутренними, которые не могут изменить импульса системы в целом. До выстрела импульс системы был равен нулю, в момент выстрела суммарный импульс снаряда и орудия должен оставаться равным нулю. Математически это записывается так:  , где mv и MV - импульс снаряда и орудия соответственно.

 Из приведенного выражения следует, что:

1) импульсы частей системы равны по величине и направлены в противоположные стороны;

2) чем больше масса орудия, тем меньшую скорость при отдаче оно приобретает.

Еще один пример отдачи - световая отдача атома - заключается в том, что атом, испустивший фотон, приобретает импульс отдачи, направленный в сторону, противоположную вылету фотона.

Техническая реализация эффекта

Физический эффект применяется в военной технике, на транспорте, в спорте и т. д.

Явление отдачи технически реализовано, например, в автомате Калашникова. В нем часть газов из ствола отводится в цилиндр с поршнем, который воздействует на механизм перезарядки автомата.

Применение эффекта

Рассмотрим расчет скорости ракеты в зависимости от ее массы m в инерционной системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля. Примем, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью U и процесс выброса происходит в течение короткого промежутка времени. В момент старта масса ракеты равна m0. 

На основании закона сохранения импульса для системы ракета - газовая струя в рассматриваемой инерциальной системе отсчета следует: , где (u + v) - скорость газовой струи относительно выбранной системы отсчета; (m0 - m) - масса выброшенного газа.

 

Таким образом: .

 

Знак (-) показывает, что скорость ракеты противоположна скорости вытекающего газа, а предельное значение скорости ракеты равно:

 

V = -U.

Билет 19

Соударение - столкновение двух или более тел, взаимодействующих очень короткое время (столкновение атомов, игровых шаров, столкновение человека с землей при прыжке с парашюта). Силы взаимодействия между сталкивающимися телами большие и можно пренебречь прочими внешними силами, действующими на них. Поэтому можно рассматривать систему тел в процессе их соударения как замкнутую и применять к ней законы сохранения. Существуют идеально упругий и абсолютно неупругий удары.

Неупругий удар - встреча двух тел, в результате которой эти тела объединяются (столкновение глиняных шаров, прыжок человека на движущуюся вагонетку, захват электрона положительным ионом)

Пусть до встречи тела двигались со скоростями v₁ и v₂, суммар­ный импульс равнялся m₁v₁+m₂v₂. После встречи тела имеют общую массу, равную т₁+т₂ и движутся с какой-то скоростью V. Им­пульс системы после встречи равен (m₁+m₂)V. Закон сохранения импульса требует равенства  (m₁+m₂)V = m₁v₁+m₂v₂, откуда скорость тел после неупругого удара представится формулой V= (m₁v₁+m₂v₂) / (m₁+m₂)

Вектор импульса после встречи тел должен равняться сумме векторов импульса тел до удара. Если встречное движение происходит вдоль одной прямой, то после удара тела будут двигаться в том направлении, куда ранее шло тело с большим импульсом. Если импульсы тел равны по величине, то т₁v₁= — m₂v₂ и, значит, V равно нулю — столкнув­шиеся тела остановятся. Неупругий удар сопровождается энергетическим превращением (кинетическая энергия может даже обратиться в нуль). Величина, на которую возрастает внутренняя энергия встретившихся тел в том или ином случае: (m₁+m₂)*V² /2 – (m₁ V₁² /2 + m₂V₂² /2)

Абсолютно упругий удар - соударение двух тел, в результате которого в обоих участвующих в столкновении телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия тел до удара после удара снова превращается в первоначальную кинетическую энергию. Для такого удара выполняются закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса. 

(1)  (2)  Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим   (3)   (4)  откуда   (5)  Решая уравнения (3) и (5), находим  (6)  (7)  Разберем несколько примеров.  1. При ν₂=0 

( 8)  (9) 

а) m₁=m₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (ν₂=0) (рис. 2), то после удара остановится первый шар (ν₁'=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (ν₂'=ν₁); 

б) m₁>m₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (ν₁'<ν₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (ν₂'>ν₁' ) (рис. 3); 

в) m₁<m₂. При ударе направление движения первого шара изменяется - шар отскакивает обратно. При этом второй шар движется в сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. ν₂'<ν₁ (рис. 4);  г) m₂>>m₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (8) и (9) следует, что ν₁'= -ν₁; ν₂' ≈ 2m₁ν₂'/m₂.  2. При m₁=m₂ выражения (6) и (7) будут иметь вид ν₁'= ν₂; ν₂'= ν₁; т. е. шары равной массы как бы обмениваются скоростями. 

Так как абсолютно упругих тел не существует, то при каждом «упругом» ударе механическая энергия не сохраняется, часть ее переходит в энер­гию теплового движения молекул и рассеивается.

Билет 20 Работа вращения и основное уравнение вращения

Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение силой F или, напротив, вращающееся тело тормозится силой, то при этом кинетическая энергия вращения возрастает или убывает на вели­чину затраченной работы. Так же, как и в случае поступательного движения, эта работа зависит от действующей силы и от произве­денного ею перемещения.

Формула работы вращения: dA=Md: Работа вращения тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Сила F приложена в точке, находящейся на расстоя­нии r от оси вращения. Угол между направ-лением силы и радиусом-вектором обозначен через θ. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы (хотя она и приложена к одной точке) равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на угол d точка приложения проходит путь r d и работа dA, равная произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения, будет равна dA=Frsinθd. Выражение M = Frsinθ называется моментом силы. rsinθ = d – плечо силы, кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения. Поэтому М = Fd, т.е. момент силы равен произведению силы на плечо. Формула dA=Md справедлива для бесконечно малого угла d. Но можно ею пользоваться в любом случае, если будем понимать под М среднее значение момента силы за время поворота. Тогда ΔA=M_cpΔ.

Р абота вращения идет на увеличение кинетической энергии вращения. Поэтому должно выполняться равенство

Е сли момент инерции постоянен во время движения, то Md=Iwdw

И ли, поскольку

Э то и есть основное уравнение движения вращающегося тела. Момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение

Примеры. 1. Момент силы, приходящийся на одно колесо локомотива, развивающего тяговое усилие порядка 10⁵ Н, будет порядка 3000 Нм.

Человек, едущий на велосипеде, создает вращающий момент на педали порядка 100 Нм.