23. Гидроскопы

Под гироскопом или волчком обычно понимают устройство, ко­торое может вращаться около как угодно ориентированной оси. Если волчок закручен и предоставлен сам себе, то он сохраняет свою ось вращения неизменной, пока на него не действуют силы (Iω не должно меняться).

Д ействие силы на ось вращения волчка. Это демонстрируется с помощью гироскопа (рис. 35), уравновешенного грузом так, чтобы ось прибора была горизонтальной. Придадим гироскопу вращение в вертикальной плоскости и к оси подвесим груз G. Казалось бы, вся правая часть, т. е. гироскоп, должна подняться кверху. Действительно, так было бы, если бы гироскоп не вращался. Вращающийся же гироскоп придет во вращение с постоянной скоростью около вертикальной оси в направлении, показанном пунктиром со стрелкой. Движение происходит под прямым углом к направлению действующей силы.

О писанное явление, при котором ось вращения начинает вра­щаться около направления силы, называется прецессией. Прецес­сионное движение волчка хорошо знакомо каждому. Как только ось волчка хоть немного отклонится от вертикали, на волчок начнет действовать опрокидывающий момент силы тяжести. Неподвижный волчок упал бы, но вращающийся волчок начнет прецессировать около верти­кали, ось волчка будет описывать конус с вершиной в точке опоры волчка.

Оказывается, что неболь­шой толчок (который всегда возмо­жен) может заставить ось волчка дро­жать (рис. 36). В результате явления нутации ось описывает не окруж­ность, а циклоидальную линию, показанную на рисунке.

24. Малые отклонения от равновесия

Движения, совершаемые телом или частицей около положения равновесия, часто встречаются в природе. Покачивается грузик, подвешенный на нитке, дрожит пружинка, колеблется атом.

Если материальное тело или точка, на которую действую силы, находится в положении равновесия, то потенциальная энергия ее минимальна - система находится в потенциальной яме. Если отклонения от положения равновесия невелики – рассматриваем малый участок потенциальной ямы.

Ход потенциальных кривых вблизи положения равновесия всегда м.б. представлен параболической зависимостью, т. е. в виде U=¹/₂kx², где ¹/₂k — коэффициент пропорциональности.

Обоснование написанной зависимости заключается в следую­щем. Потенциальная энергия есть функция смещения из положения равновесия. Как известно, при достаточно широких предположениях любую функцию при малых х можно разложить в ряд Тейлора по возрастающим степеням х:

U = ах + ¹/₂kx²+ bx³ + сх⁴ + ...

Однако, если х мало, то члены с высокими степенями можно от­кинуть, а первый член пропадает, если потенциальная яма симмет­рична, и значения потенциальной энергии на одинаковых расстоя­ниях слева и справа от равновесия должны быть одинаковы.

Сила, действующая на отклонившуюся от равновесия точку, будет равна производной от потенциальной энергии с обратным зна­ком. Поэтому, если энергия выражается формулой U=¹/₂kx², то F=—kx. Силу F=—kx называют возвращающей силой, а коэффициент k-коэффици­ентом возвращающей силы.

Какой же характер будет носить движение, возникшее под действием возвращающей силы?

Закон Ньютона та=—kx.

Это уравнение будет удовлетворено, если точка совершает около положения равновесия гармонические колебания, т. е. колебания по закону х = A cos (2π/T) t, где Т — период колебания

Период свободных колебаний около положения равновесия (собст­венный или характеристический период колеблющейся системы).