25. Частные случаи колебаний

Если тело, подвешенное на резиновом шнуре, пружине или про­волоке, будет смещено от положения равновесия в направлении шнура, оси пружины или проволоки, то возникнут линейные коле­бания под действием возвращающей силы упругости. Коэффициент k-жесткость колеблющегося тела.

В крутильных колебаниях возвращение к равновесию происхо­дит под действием крутильного момента, который при малых откло­нениях от равновесия прямо пропорционален угловому смещению.

П ериод свободных крутильных ко­лебаний представится формулой , где D - вращатель­ный момент, отнесенный к единице углового смещения, I – момент инерции.

Чем больше момент инерции, тем меньше частота колебаний.

Тела, колеблющиеся под действием сил тяготения,— это маят­ники. Если маятник можно примерно представить как материаль­ную точку, подвешенную к невесомой нити, то говорят о математическом маятнике (рис. 38).

Из рисунка мы легко найдем выражение возвращающей силы mg sina — это состав­ляющая веса по направлению касательной к траектории. Если отклонения от равновесия малы, то синус угла можно заменить на зна­чение угла a и, далее, заменить его на част­ное от деления смещения х на длину нити l. Пери­од колебаний .

В данном месте поля тяготения период колебаний мате­матического маятника будет зависеть только от его длины.

Е сли речь идет о малых колебаниях физического тела, которое никак нельзя приближенно заменить точкой, то говорят о физиче­ском маятнике. На рис. 39 показано твердое тело; ось вращения (колебания) проходит через него. Период коле­баний физического маятника вычисляется же формуле ИЛИ

Величину l' = I/mr называют приведенной длиной физического маятника. Такую длину имел бы математический маятник с тем же периодом колебания.

Билет 26. При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида   в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний   или её квадрата.

Билет 27. Вынужденные колебания-Если тело выведено из положения равновесия и затем предо­ставлено самому себе, то колебания его происходят с собственной частотой, не зависящей от характера возбуждения, а определяю­щейся лишь свойствами системы. Колебания тронутой струны име­ют одну и ту же частоту вне зависимости от того, щипком или уда­ром ее заставили звучать.

Билет 28. Автоколебания — своеобразное явление, принципиально отличное от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы.

Билет 29. Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты    применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Tax как векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω₀, то разность фаз (φ₂ - φ₁) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет   (1)  В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями   (2)    Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ - φ₁) складываемых колебаний. 

Билет 30- Спектр колебаний - совокупность гармонич. колебаний, на к-рые может быть разложено данное сложное колебат. движение. Математически такое движение представляется в виде периодической, но негармонич. ф-ции f(t) с частотой w. Эту ф-цию можно представить в виде ряда гармонич. функций: f(t)=SAncosnwt с частотами поз, кратными осн. частоте (где An — амплитуды гармонич. функций, t — время, n — номер гармоники). Чем сильнее исходное колебание отличается от гармонического, тем богаче его С., тем больше составляющих обертонов (гармоник) содержится в разложении и тем больше их амплитуды. В общем случае С. колебания содержит бесконечный ряд гармоник, амплитуды к-рых быстро убывают с увеличением их номера, так что практически приходится принимать во внимание только нек-рое конечное число обертонов. Процессы, не имеющие строгой периодичности или непериодические, могут представляться в виде суммы гармонич. компонент с некратными частотами или в виде суммы (интеграла) бесконечного числа составляющих со сколь угодно близкими частотами (непрерывный С.). С. звука выражает его частотный состав и получается в результате анализа звука. С. звука представляют обычно на координатной плоскости.

Билет №31 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде   (1)  где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как      и заменяя во втором уравнении   на   и   на   , найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей:   (2)  Поскольку траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.  Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, которые представляют для нас физический интерес:  1) α = mπ (m=0, ±1, ±2, ...). В этом случае эллипс становится отрезком прямой   (3)  где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m (рис. 1а), а знак минус — нечетным значениям m (рис. 2б). Результирующее колебание есть гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой , которое совершается вдоль прямой (3), составляющей с осью х угол . В этом случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;  2) α = (2m+1)(π/2) (m=0, ± 1, ±2,...). В этом случае уравнение станет иметь вид   (4)  Это есть уравнение эллипса, у которого оси совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 2). Если А=В, то эллипс (4) превращается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями иликолебаниями, поляризованными по кругу. 

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний имеют различные значения, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих замкнутых кривых зависит от соотношения амплитуд, разности фаз и частот складываемых колебаний. На рис. 3 даны фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (даны слева) и разностей фаз (даны вверху; разность фаз равна φ).  Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, которые параллельны осям координат. По виду фигур можно найти неизвестную частоту по известной или найти отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко применяемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний. 

Билет №32 Распространение деформации

Каждое тело обладает в той или иной степени упругостью, т. е. способностью восстанавливать свою форму, искаженную в ре­зультате кратковременного действия силы.

В упругом теле деформация передается последовательно от од­ной точки тела к соседней.

Если в твердом теле создан местный кратковременный изгиб, то он также будет передаваться с конечной скоростью по твердому телу. То же самое справедливо для любой деформации.

Упругостью сжатия и растяжения обладают как твердые тела, так и жидкие и газообразные.

При деформации сжатия и растяжения движения частиц происходят в том же направлении, в котором передается механическое действие.

Скорость распространения упругой деформации зависит от механических свойств тела:

Р - плотность тела, Н – сжимаемость

Большая плотность тела приводит к увеличению инертности частиц тела и, следовательно, уменьшает скорость распространения упругих волн. Малые сжимаемости говорят о том, что даже малым деформациям соответ­ствуют большие упругие силы. Это обстоятельство приводит к уве­личению скорости распространения деформации.

Модуль Упругости — коэффициент, характеризующий сопротивление материала растяжению или сжатию при упругой деформации

  

Билет №33 Возникновение волнового движения

Пусть точка, находящаяся в начале отсчета, колеблется согласно уравнению у=A cos ωt. Запишем уравнение колебания точки, распо­ложенной вдоль линии распространения деформации на расстоянии х от начальной. Но эта точка пришла в колебание с запозданием на время =х/с, нужное для распространения деформации на расстояние х. Поэтому коле­бание точки х должно быть сдвинуто по фазе по отношению к на­чальной точке.

Уравнение колебания точки, сдвинутой на расстояние Х от начала координат: (уравнение волны)

(вдоль оси)

При движении волны против направления отсчета координаты в аргументе косинуса надо изменить знак на обратный.

При волновой передаче деформации через тело по закону синуса меняется ряд физических величин: смещение точки от положения равновесия, скорость колеблющихся частиц, давление и плотность.

Билет №34 Волны давления и скорости колебания

Если амплитуда волны смещения А, то амплитуда волны скоростей ωА. По фазе эти две волны сдвинуты на 90°.

Звуковое давление :

В продольной волне изменение плотности происходит лишь благодаря смещениям в направлении распространения. Когда идет волна, молекулы, находящиеся внутри этого объема, смещаются. Очевидно, что необходимо следить только за граничными сечениями, т.к. именно их смещение определяет изменение объема.

Величина, характерная для давления :

Т.о., давление изменяется синфазно со скоростью колебания частиц в волне.

Волновое(акустическое) сопротивление – чем больше сопротивление, тем меньше скорость колебания частиц при тех же величинах избыточного давления.

Билет №35 Поток энергии

Все точки тела участвуют в колебании. Поэтому единица объема обладает колебательной энергией, равной:

Интенсивность волны - количество энергии, проходящее в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению распро­странения волны.

Поток колебательной энергии - энергия, проходящая в единицу времени (мощность) через данную площадь.

Для описания трехмерной волны нужно знать, как движется ее фронт.

Чтобы отыскать фронт волны, надо для данного момента отметить все точки пространства, находящиеся в одинаковых фазах колебания. Отмечая последовательное положение этой.

Если среда вполне однородна и волна излучается в какой-либо точке среды, то фронт ее будет сферическим. Такая волна распро­страняется по радиусам от центра. На больших расстояниях от центра излучения уже значительные участки фронта волны будут с точностью опыта казаться плоскими. Так возникает представление о плоской волне, распространяющейся в направлении нормали к фронту. Если излучатель волны имеет вид линии, то возникнет цилиндрическая волна, распространяющаяся по радиусам цилинд­ра.

для сферической волны

для цилиндрической волны

Билет 36. Затухание упругих волн

Реальные волны, распространяющиеся в среде (твердой, жидкой или газообразной), уменьшают свою интенсивность значительно быстрее, чем по закону обратных квадратов. Причиной потери механической энергии, превращение ее в тепло.

Закон падения интенсивности какого-либо излучения при про­хождении через среду: если волна прошла слой толщины dx,то потерянная интенсивность должна быть пропорциональна падающей интенсивности и толщине слоя, т.е. dI=—µIdx. Интегрируя это уравнение и полагая интенсивность равной I₀ в точке х=0 и равной I в точке х,получим закон, справедливый для конечных расстояний I=I_oe-^µx. Таким образом, интенсивность волны падает по экспоненциальному закону.

В акустике принято говорить о затухании амплитуды колебания. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то затухание амплитуды колебания будет выражаться тем же законом, только коэффициент затухания (или поглощения) будет в два раза меньшим: А=А₀e^-1/2µx

Смысл коэф-та поглощаения µ - величина, обратная толщине, на протяжении которой интенсивность или амплитуда излучения ос­лабляются в ераз.

Для многих веществ найдено, что затухание упругой волны (ос­новные данные относятся к звуковым волнам в воздухе) возрастает с частотой колебания. А именно коэффициент поглощения µ=aω²

Ультразвуковые колебания затухают столь быстро, что их передача на расстояния, большие нескольких сотен метров, совершенно нереальна. Некоторые вещества обладают избирательным поглощением звука в относительно узкой области частот.

Для продольных волн в газах и жидкостях коэффициент поглощения обрат­но пропорционален кубу скорости упругой волны и прямо пропор­ционален кинематической вязкости. Поглощение звуковых и ультразвуковых волн в жидкости примерно в 1000 раз меньше, чем в воздухе; при той же самой частоте упругие волны будут распространяться в воде на расстояния в ты­сячу раз большие, чем в воздухе.

Поглощение поперечных волн в твердых телах также сильно за­висит от свойств тела.

Билет 37. Интерференция волн

Если имеется не один, а несколько источников волн, то каждая точка среды примет одновременно участие в нескольких волновых движениях. Оказывается всегда возможным рассматривать колеба­ние физической величины, происходящее благодаря действию не­скольких волн, как сумму колебаний, каждое из которых имело бы место, если бы действовала одна волна.

Положим, что из двух точек, расположенных на некотором рас­стоянии друг от друга, исходят шаровые волны. При помощи урав­нения волны можно найти значение амплитуды колебания в любой момент времени для любой соседней точки. Если интересующее нас место находится на расстоянии r_tот первого и r₂от второго источ­ника волн, то колебания в нем представятся формулой

Результатом сложения двух колебаний, отличающихся только фаза­ми, является, как нам известно, также гармоническое колебание, совершающееся с амплитудой 2Acos(δ/2), зависящей от разности фаз складывающихся колебаний. Разность фаз δ равна в этом случае

Разность r₁ - r₂ называют разностью хода волн. Условия максимумов и минимумов амплитуды можно с помощью этого понятия сформулировать так: Условие максимума r₁ - r₂ = kλ говорит, что разность хода между волнами, пришедшими в данную точку, должна равняться целому числу длин волн. Условие мини­мума r₁ - r₂ = ½(2k+1)λ говорит, что разность хода должна равняться нечетному числу полу­волн.

Наложение волн, при котором происходит сложение их ампли­туд, называется интерференцией.

К ривые линии, удовле­творяющие условию постоянства разности расстояний от точки кривой до двух фокусов, суть гиперболы. Если провести плоское сечение через точечные источники и отметить на рисунке места мак­симального усиления и места уничтожения волн, то они попадут на гиперболы. Можно без труда наблюдать такую картину на воде, если заставить интер­ферировать два источника, посылающих водяные круги из соседних точек.