10) Поле комплексных чисел

Числовым полем называется такое числовое множество К , в котором корректны операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль).

Образуют поле множества рациональных чисел Q, действительных чисел R.

Не образуют поле множества натуральных, целых, положительных, отрицательных.

Операция T называется корректной относительно некоторого числового

T

множества К, если  a, b € K → c € K

11) Тригонометрическая форма. Формула Муавра.

Тригонометрическая форма записи:

z =x +iy, x=r cos φ, y=r sin φ

Z=r (cos φ + i sin φ ), r = |z|, φ € Arg z

Формула Эйлера:

φ → e ^iφ = cos φ + i sin φ φ € R

Формула Муавра:

z =re ^iφ = r (cos φ + i sin φ )

z ⁿ = r ⁿ e ^inφ = r ⁿ (cos φ + i sin φ )ⁿ = r ⁿ (cos nφ + i sin nφ )

cosisinⁿ cosnisinn

12) Извлечение корней из комплексного числа

Л6 Слайд 20

13) Показательная форма записи комплексных чисел и ее свойства

Показательная форма записи:

z= r e ^{iφ ,} r = |z|, φ € Arg z

Умножение и деление в показательной форме:

z ₁ = r₁ ( cos φ₁ +I sin φ₁) = r₁ e ^iφ₁

z ₂ = r₂ ( cos φ₂ +I sin φ₂) = r₂ e ^iφ₂

z ₁ z ₂ = r₁r₂ e ^{i (φ}₁^{+ φ}₂⁾ = r₁ r₂ (cos (φ₁+ φ₂) + i sin (φ₁+ φ₂))

z ₁ / z ₂ = (r₁ / r₂) _* e ^{i (φ}₁^{+ φ}₂⁾ = (r₁ / r₂) * (cos (φ₁- φ₂) + i sin (φ₁- φ₂))

14) Формулировка основной теоремы алгебры

Основная теорема высшей алгебры.

Многочлен n-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно n нулей (с учетом их кратности).

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные квадратичные множители:

P_n (z) = a_n z ⁿ + a_{n -1} z ^{n -1} +….+ a₁ z + a₀

Если коэффициент многочлена действительные числа и z₀ = x₀ + iy₀ - его комплексный корень, то сопряженное число z₀^* = x₀ + iy₀ – так же корень этого многочлена, причем корни z₀ и z₀^* имеют одинаковую кратность.

Пусть многочлен P_n (z) имеет корни z₁, z_2,…., z_m (m≤ n) кратностей соответственно

k₁, k_{2 ,} … k_m ( k₁ + k₂ + …+ k_m = n) _. Тогда его можно разложить на линейные и квадратичные множители.

Вещественному корню a кратности k соответствует множитель (z – a) ^k

Комплексному корню a + ib кратности k соответствует множитель (z –(a+ib))^k (z-(a-ib)) ^k =

= (z² – 2 az + a² + b² )

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные квадратичные множители:

P_n (z) = a_n z ⁿ + a_{n -1} z ^{n -1} +….+ a₁ z + a₀

Если коэффициент многочлена действительные числа и z₀ = x₀ + iy₀ - его комплексный корень, то сопряженное число z₀^* = x₀ + iy₀ – так же корень этого многочлена, причем корни z₀ и z₀^* имеют одинаковую кратность.

Пусть многочлен P_n (z) c вещественными коэффициентами имеет корни z₁, z_2,…., z_m

(m≤ n) кратностей соответственно k₁, k_{2 ,} … k_m ( k₁ + k₂ + …+ k_m = n) _. Тогда его можно разложить на линейные и квадратичные множители.

Вещественному корню z_J = x_J a кратности k соответствует множитель (z – x_J ) ^kj

Комплексному корню z_p = x_p + iy_p кратности k_p соответствует множитель

(z –( x_p+ i x_p))^kp (z-( x_p -iy_p)) ^kp = …. (z² – 2 x_pz + x_p² + x_p² ) ^kp ….. D > 0