23. Линии второго порядка на плоскости(окружность и эллипс-смотри 24 билет)

Р ассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат  0(нулю) (11.1) Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Виды это окружность и эллипс.

Окружность. Простейшей кривой второго порядка является окружность. Окружность - это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

        (11.2)это каноническим уравнением окружности

В частности, полагая  и , получим уравнение окружности с центром в начале координат . Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1)  коэффициенты при x² и у² равны между собой; 2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат. Билет 24.1). Парабола- это геометрическое место точекна плоскости, одинаково удаленных от данной точки(фокуса) и данной прямой(директрисы).Каноническое уравнение y²=2px, фокус F(P/2;0); директриса x=- P/2, r= MF(модуль)=x+P/2(модуль)

2). Эллипсом (круг на координатных осях) называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек F1 и F2(фокусов) есть величина постоянная. Каноническое уравнение x²/a²+y²/b²=1, уравнение касательной в точке M(x₀; y₀) y-y₀=b²*x₀/a²*y₀ * (x-x₀), фокусы эллипса F1(-c;0), F2(c;0) c=a²-b² (под корнем это!), эксцентрисетет e=c/a, директрисы x=d=a/e, x=-d=-a/e, r1/d1=r2/d2=e, оптическое свойство F1MA=F2MB, отношение полуосей b/a=1-e²(вот это выражение под корнем), расстояние от точки эллипса до фокусов(фокальные радиусы) r₁=MF1=a+ex; r₂=MF2=a-ex; r₁+r₂=2a, параметрическое уравнение x=accost, y=bsint (интервал от о до 2Пи принадледит t)

3). Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2. Каноническое уравнение x²/a²-y²/b²=1 и сопряжение с отрицательной еденичкой, уравнение касательной в точке M(x0, y0) y-y₀=b²* x₀/a²*y₀ * (x-x₀),асимптоты y= плюс минус b/a *x, эксцентрисетет e=c/a, директрисы x=d=a/e, x=-d=-a/e, r1/d1=r2/d2=e, оптическое свойство F1MA=AMF2, расстояние от точки геперболы до фокусов(фокальные радиусы) r₁=MF1(под модулем)=a+ex(модуль); r₂=MF2(модуль)=a-ex(модуль); r₁+r₂ (модуль)=2a.

25. Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Классификация кривых второго порядка: 1). Невырожденные кривые Кривая второго порядка называется невырожденной, если (треугольничек – это определитель)Могут возникать следующие варианты:1). Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 2). эллипс — при условии и ; 3). частный случай эллипса — окружность — при условии или 40. мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии 5). гипербола — при условии 5). Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если 6). парабола — при условии Вырожденные кривые Кривая второго порядка называется вырожденной, если . Могут возникать следующие варианты: 1). вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии 2). пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии 3). вырожденная парабола — при условии 4). пара вещественных параллельных прямых — при условии 5). одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии 6). пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии Виды кривых второго порядка: парабола, эллипс и гипербола(рассказать о них все!!билет24)

Билет 26. Цилиндрические поверхности.  Цилиндрическая поверхность — поверхность, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению. Частный случай криволинейной поверхности. Поверхности вращения и их канонические уравнения.

27. Поверхности второго порядка, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

a₁₁x² +2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₀x  a₃₃z² + 2a₂₀y +  a₀₀ = 0     (*)

a₁₁² + a₁₂² + a₂₂²  =(не равно) 0    

Существует 9 кривых второго порядка: 1). Существующая прямая пересекает кривую второго порядка не более чем в 2-х точках. 2). Три основных кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола.

Виды:1) эллипсоиды( эллипсоиды, мнимые эллипсоиды);2) гиперболоиды: (однополостные гиперболоиды, двуполостные гиперболоиды); 3) параболоиды (эллиптические параболоиды, гиперболические параболоиды); 4) конусы второго порядка:( конусы, мнимые конусы); 5) цилиндры второго порядка( эллиптические цилиндры, мнимые эллиптические цилиндры, гиперболические цилиндры, параболические цилиндры).

Билет 28. Линейное, или векторное пространство над полем  — это непустое множество , на котором введены операции:1).сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и .2). умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый . При этом на операции накладываются следующие условия:1). , для любых (коммутативность сложения);2). , для любых (ассоциативность сложения)3). существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;4). для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).5). (ассоциативность умножения на скаляр);6). (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).7). (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров); Элементы множества называют векторами, а элементы поля  — скалярами.

Простейшие свойства 1). Векторное пространство является абелевой группой по сложению.2). Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.3). для любого . 4). Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.5). для любого . 6). для любых и .7). для любого .

Билет 29. Подпространство Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определенным в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы1). ; 2). для всякого вектора , вектор также принадлежал , при любом ;3). для всяких векторов , вектор также принадлежал . В частности, пространство, состоящее из одного элемента , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств 1). Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;2). Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :

.

Билет 30. Линейная комбинация, оболочка, линейная зависимость и независимость векторов

 Линейная комбинация векторов. Пусть дана совокупность двух векторов и совокупность чисел. Тогда сумма произведения лямбда1*вектор а1+лямбда2*вектор а2+…+лямбда n*вектор An называется линейной комбинацией векторов. Линейная зависимость и независимость векторов 1). Совокупность векторов а1,а2,…,Аn называют линейно независимой если их линейная комбинация может быть равно 0 только в том случае, когда все числа лямбды равны 0. 2). Совокупность векторов а1,а2,…,Аn называют линейно зависимой если их линейная комбинация может быть равно 0 только в том случае, когда не все числа лямбды равны 0.

Критерий линейной зависимости векторов

     Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Линейная оболочка подмножества линейного пространства  — пересечение всех подпространств , содержащих .

Линейная оболочка является подпространством . Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество . Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из . В частности, если  — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов . Если  — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.

Билет 32. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений

Фундаментальной системой решений однородной системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными называют совокупность (n – r) линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы. Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как X⁽¹⁾, X⁽²⁾, …, X^(n-r) (X⁽¹⁾, X⁽²⁾, …, X^(n-r) – это матрицы столбцы размерности n на 1), то общее решение этой однородной системы представляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами С₁, С₂, …, С_(n-r), то есть, .ОРОСЛАУ- это общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (орослау) Процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ: Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения 1, 0, 0, …, 0 и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, (например методом Крамера). Так будет получено X⁽¹⁾ - первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения 0, 1, 0, 0, …, 0 и вычислить при этом основные неизвестные, то получим X⁽²⁾. И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения 0, 0, …, 0, 1 и вычислим основные неизвестные, то получим X^(n-r). Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде . Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде , где общее решение соответствующей однородной системы, а - частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения 0, 0, …, 0 и вычислив значения основных неизвестных. Разберем на примерах. (последний лист!!!если попадется) Билет 33. Определение линейного оператора и его матрицы. Ядро и образ линейного оператора Пусть заданы линейные пространства и . Правило, по которому  каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , называется ОПЕРАТОРОМ, действующим в линейных пространствах . Результат  действия оператора на элемент обозначают или . Если элементы и связаны соотношением , то называют образом элемента ; элемент прообразом элемента . Множество элементов линейного пространства , для которых определено действие оператора , называют областью определения оператора и обозначают . Множество элементов линейного пространства , которые являются образами элементов из области определения  оператора , называют образом оператора и обозначают . Если , то . Оператор , действующий в линейных пространствах называется линейным оператором, если и для любых и для любого числа . Если пространства и совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве . В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве . Образ и ядро линейного оператора Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве . Доказано, что образ линейного оператора линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается . Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают : . А также:1). ранг оператора равен рангу его матрицы; 2). ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с 3). столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора. Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

Билет 34. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве , и пусть базис в . Обозначим через образы базисных векторов . Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе. Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейномпространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа с координатами прообраза , с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей . При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве произошел переход от базиса к базису . Связь между матрицей оператора в базисе   и матрицей этого оператора в базисе задается формулой .

Здесь   матрица перехода от базиса к базису и обратная к ней.

Билет 35. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.  Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или  Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера. Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения. Теорема(Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.. Для данной матрицы , , где Е — единичная матрица, является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет не нулевое решение, то , значит матрица вырождена и ее определитель равен нулю.

Свойства:1). Для матрицы , характеристический многочлен имеет степень .2). Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.3). Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: .

Билет 36. Определение и свойства скалярного произведения в абстрактном векторном пространстве

Скалярным произведением в векторном пространстве над полем называется функция для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям: 1).для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу); 2). для любых и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность); 3). для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).(линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым.)