Билет 31. Базис. Размерность(тут муть!!!если попадется на мути что-нибудь…)

Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

• Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

• Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

  • Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.

  • Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

Базис пространства . Координаты вектора

     Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

     Обозначение:

     Для каждого вектора существуют числа такие что

     Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

     Справедливы формулы:

Матрица системы векторов

     Для векторов ..., в базисе ( ) - матрица

m векторов пространства линейно независимы тогда и только тогда, когда rank A = m.

     Матрица S перехода от базиса к базису - матрица системы векторов в базисе

     Если , то:

или кратко:

     Если то т. е. - матрица перехода от базиса к базису .

     Преобразование координат вектора

     Если то В развернутой записи:

     Очевидно, что

Пример. Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Решим ее методом Крамера: Таким образом, . Теперь построим X⁽²⁾. Для этого придадим свободным неизвестным переменным значения x₂ = 0, x₄ = 1, тогда основные неизвестные найдем из системы линейных уравнений . Опять воспользуемся методом Крамера: Получаем . Так мы получили два вектора фундаментальной системы решений и , теперь мы можем записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений: , где C₁ и C₂ – произвольные числа.