- •2. Основные правила дифференцирования.
- •3.Основныеформулыдифференцирования.
- •4, Производная неявной функции, функций заданной параметрически и степенно-
- •1, Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. Дифференцируемость
- •6. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
- •7, Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
- •8, Экстремум функции.
- •9, Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •10,Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •11, Асимптоты графика функции.
- •12, Односторонние пределы. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
- •4.11. Классификация точек разрыва
- •13,Схема полного исследования функции и построения ее графика.
- •15, Таблица основных неопределенных интегралов.
- •16,Основные методы интегрирования.
- •17, Определенный интеграл, как предел интегральных сумм.
- •18. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов.
- •19,Несобственный интеграл первого рода.
- •20.Несобственный интеграл второго рода.
9, Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, нужно исследовать поведение функции на данном отрезке с помощью производной.
Для этого мы следуем известному алгоритму:
1. Находим ОДЗ функции.
2. Находим производную функции
3. Приравниваем производную к нулю
4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5. Находим точки максимума и минимума функции.
В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-».
В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».
6. Находим значение функции в концах отрезка,
затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
10,Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
Вторая производная. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x0 ), то её производная называется второй производной функции f ( x ) в точке ( x0 ), и обозначается f '' ( x0 ).
Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:
если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
11, Асимптоты графика функции.
Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий
, |
Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если
Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если