12, Односторонние пределы. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Непрерывность функции

О п р е д е л е н и е 1. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке  x = x0, если предел функции в точке x0 существует и равен значению функции в этой точке:

.                                                  (4.28)

Непрерывность функции в точке означает одновременно выполнение следующих условий:

функция y = f (x) должна быть определена в точке x0;

для функции y = f (x) должен существовать предел в точке x0;

предел функции в точке x0

должен совпадать со значением функции в этой точке.

Пример. Функция y = x2 определена в каждой точке  . Для любой точки  . Пусть   и f (2) = 4, т.е. функция y = x2  непрерывна в каждой точке числовой оси.

О п р е д е л е н и е 2. Если функция непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то она называется непрерывной на этом интервале (a, b). До сих пор мы рассматривали предел функции в точке, полагая, что он не зависит от того, с какой стороны мы подходим к точке x0. Существует, однако, много пределов, в которых это является существенным.

О п е р е д е л е н и е 3. Пусть х стремится к x0  , оставаясь меньше x0, т.е. слева. Если при этом значение функции стремится к пределу, то он называется пределом слева:

.                                          (4.29)

О п р е д е л е н и е 4. Пусть х стремится к x0  , оставаясь больше x0, т.е. справа. Если при этом значение функции стремится к пределу, то он называется пределом справа:

.                                  (4.30)

О п р е д е л е н и е 5. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0, если выполняются три условия:

она определена в этой точке, т.е. существует значение функции  f (x0);

существуют односторонние пределы:

 и  ;

односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в точке x0:

.                          (4.31)

О п р е д е л е н и е 6. Если в какой-либо точке x0 функция не является непрерывной, то точка x0 называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.

4.11. Классификация точек разрыва

О п р е д е л е н и е 1. Точкой разрыва первого рода функции y = f (x) называется такая точка x0, в которой функция имеет левый и правый пределы, неравные между собой (рис. 69).

Рис. 69

(4.32)

О п р е д е л е н и е 2. Точка x0 (рис. 70) называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности:

 и  .                                  (4.33)

Рис. 70

Рис. 71

Рис. 72

О п р е д е л е н и е 3. Точка x0 (рис. 71) называется точкой устранимого разрыва y = f (x), если функция в точке неопределена, но односторонние пределы существуют и равны между собой:

, но  .                  (4.34)

Такой разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке разрыва x0 значением ее предела А: