13,Схема полного исследования функции и построения ее графика.
Общая схема исследования функции и построения ее графика
Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Найти точки пересечения с осями координат
Установить, является ли функция чётной или нечётной.
Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Найти наклонные асимптоты функции.
Построить график функции.
13, Понятие неопределенного интеграла. Свойства.
Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.
15, Таблица основных неопределенных интегралов.
16,Основные методы интегрирования.
Метод разложения
Этот метод применяется
для интегрирования функций f(x),
представляющих собой алгебраическую
сумму нескольких функций f1(x); f2(x);...;
fn(x), первообразные которых заранее
известны или
могут быть легко
получены. Тогда в соответствии со
свойством 3 неопределенного интеграла
получаем
Метод
введения нового аргумента
Теорема
2. Пусть функция f(x) определена и имеет
первообразную F(x) на промежутке X; пусть
также функция х = 
(t)
определена и дифференцируема на
промежутке T, и определена сложная
функция f(
(t)).
Тогда
функция f(
(t))
•
'(t)
также имеет первообразную на промежутке
Т, и при этом
Главной
проблемой при применении данного метода
является то, что исходный интеграл 
не
содержит
«подсказок» в виде
заранее сформированных Множителей
f(
(t))
и
'(t)Необходимо
«увидеть» в
одном из множителей
a(t) или b(t) производную некоторой
функции
(t),
а второй множитель оформить как
функцию
с аргументом
(t),
после чего процедура интегрирования
принимает очевидный характер:
Метод
подстановки
Если функция f(х) непрерывна,
а функция х =
(t)
непрерывно дифференцируема, то
В
отличие от метода введения нового
аргумента подстановка может проводиться
совершенно формально. Однако
эффективность
метода подстановки существенно зависит
от выбора функции
(t).
Подстановка считается
удачной,
если вновь полученный интеграл проще
исходного. Отметим еще одну важную
особенность метода
подстановки.
После проведения интегрирования по
переменной t необходимо «вернуться» к
переменной х, что
возможно
лишь при условии существования обратной
функции t = ф-1(t). Следовательно, на
промежутке,
на котором
выполняется интегрирование, функция
(t)
должна быть строго монотонной.