§ 2. Равенства и неравенства в начальном обучении

МАТЕМАТИКЕ

Задачи изучения равенств и неравенств в начальных классах заключаются в том, чтобы научить учащихся практически оперировать равенствами и неравенствами: сравнивать числа, сравни-

246 247

вать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству.

На сравнение множеств предметов направлены такие задания: сравнение совокупностей предметов, иллюстрирование предметны­ми множествами указанного неравенства 4 < о; пер'еход от нера­венств к равенству; имеем 4 < 5, что надо сделать, чтобы стало по­ровну, даются упражнения и на переход от равенства к неравенст­ву. Вводится практическое усвоение свойства симметричности ра­венства и несимметричности неравенства. С самого начала обуче­ния необходимо работать с этими свойствами: если установили, что в аллее больше кленов, чем лип, то, значит, лип меньше, чем кле­нов; если оказалось, что на столе ложек столько, сколько вилок, то, значит, вилок столько, сколько ложек.

Необходимо заметить, что не следует спешить с формализован­ными выводами, а чаще опираться на конкретную базу, не довольст­вуясь только картинками в учебнике, но привлекая и раздаточный материал.

На основе работы с множеством предметов учащиеся подготав­ливаются к сравнению чисел.

К сравнению чисел учащиеся приступают при изучении нуме­рации в пределах 10, потом при повторении этого материала и зна­комстве со сложением и вычитанием в пределах 10. Задания на сравнение могут быть такие: а) было 3 предмета и 1 предмет, объ­единили их вместе и получили 4 предмета, сравнить 4 с 3 и с 1, т. е. целое со своими частями; б) сравнить данные числа: 5 и 3.

Далее выполняется сравнение чисел с опорой на знания после­довательности чисел в натуральном ряду. Вслед за этим учащиеся опираются на десятичный состав числа:, в числе 15— 10 и еще 5 единиц, в числе 13 — тоже 10, но еще только 3 единицы, значит, 15 > 13.

При изучении чисел первой 1 000 учащиеся выполняют и срав­нение именованных чисел. Здесь необходимо добиваться того, что­бы учащиеся как можно чаще опирались на конкретные образы, подкрепляли свои утверждения измерениями, в противном случае появляется два вида ошибок: а) 37 см > 5 дм; 6 м 4 дм > 70 дм; б) 8 дм — 8 м; 4 м 3 дм = 3 м 4 дм. Учитель должен предостеречь учащихся от подобных ошибок.

Во время формирования понятия в I классе о том, что сумма натуральных чисел больше каждого из своих слагаемых, а разность натуральных чисел меньше уменьшаемого, ведется работа по срав­нению численного значения арифметического выражения и числа.

Сначала знак неравенства между выражением и числом ста­вится после вычисления значения выражения. Пусть надо сравнить 5 + 3 и 5. Ученик вычисляет 5 + 3 = 8, а 8 > 5, следовательно, 5 + 3 > 5. Затем вводятся рассуждения 5 + 3 — это сумма, к од­ному из двух равных чисел прибавили натуральное число 3 (а не нуль), следовательно, 5 + 3 > 5.

Упражнения на сравнение численного значения выражения и числа получают развитие дальше во II и III классах в применении к большим числам и к умножению и делению. В качестве подго­товки к сравнению численных значений выражений применяется сравнение пар примеров типа 3—1 и 3+1, 4+2 и 4—1. С помощью вычисления и опоры на соотношение результатов действий и их компонентов учащиеся выясняют, где получится больше или мень­ше и почему так получается.

Таким образом, сначала применяются вычисления, затем зада­ния выполняются на основе рассуждений с опорой на обобщение.

если раньше действовала формула: «вычисли — объясни — поставь знак», то теперь: «подумай — поставь знак — объясни — проверь вычислением».

Учащиеся сравнивают и более сложные выражения: 40 — (30 + 7) и 40 — 30—7 или 80 — (60 + 4) и 80 — 60-90-(50+6) и 90-6.

Во II классе такие упражнения с действиями II ступени уча­щиеся выполняют на основе вычислений, в III классе — на основе рассуждений.

Во II классе решаются неравенства приемом подстановки. На­пример, дано неравенство: х + 4 < 7. Учащиеся подбирают числа и записывают;

1. + 4<7 4<7

2. + 4 < 7 5 < 7 2+4<7 6<7

3+4=7 7-7

Следовательно, х может равняться 0, 1 и 2.

В III классе неравенство может решаться способом замены его соответствующим равенством:

х+4<7 х+4=7 х=7—4 х=3 Следовательно, х < 3. В III классе рассматриваются простейшие неравенства.