§ 8. Уравнение в начальном обучении математике

Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является еся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Например задание для учащихся I класса: «Длина синей полоски 7 см, а красной 9 см. Которая полоска короче и на сколько сантиметров? Что можно сделать с одной из этих полосок, чтобы они оказались одинаковой длины?»

Во втором классе: «Сравнить 7 + 7 + 7 + 7 и 7 • 3. Что мож­но сделать с одним из этих выражений, чтобы они стали рав­ными?» и т. п.

248

249

Выполнение таких заданий вырабатывает у учащихся навыки «уравнивания» чисел и выражений, что им потребуется при состав­лении уравнений.

Начиная с изучения таблицы сложения и вычитания связь между слагаемыми и суммой не только показывается учащимся, но они на нее и опираются при нахождении результата соответствую­щего случая вычитания. Учащиеся опытным путем с применением разнообразных материалов для счета устанавливают, если 24-3=5, то 5 — 2 = 3, 5 — 3 = 2. На основе таких упражнений учащиеся формулируют выводы о взаимосвязи между суммой и слагаемыми и о нахождении неизвестного слагаемого. Знание взаимосвязи меж­ду компонентами и результатом каждого арифметического действия является основой приема решения уравнений в начальных классах.

Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонен­тами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как ра­венство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование — найти такое значе­ние буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. Это характерно и для последующего при­ема составления уравнений по условию задач в I и во II классе, только отношения и связи между данными и неизвестными числа­ми становятся не так явно выраженными, как в первых заданиях.

Характерной чертой начального обучения является то, что решение готовых уравнений проводится несколько раньше, чем использование их при решении задач, то есть сначала учащиеся вооружаются навыками решения уравнений какого-либо вида, а потом уже приступают к решению задач с применением таких урав­нений.

В I классе ведется работа только с уравнениями, включающими действия первой ступени вида а + Ъ == с. Во II классе, кроме прос­тейших уравнений, включающих действия первой или второй сту­пени, начинается работа с более сложными уравнениями, в которых имеются действия только одной ступени.

Уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: 37 — а = 12 -4- 14; 2) один из компонентов за­дан выражением л: -+- (18 — 15) = 24; 3) один из компонентов за­дан выражением, причем в него входит неизвестное (73 — Ь) + + 31 = 85. В первом случае учащийся может начинать рассуждать двояко: а) неизвестно вычитаемое; чтобы его найти, нужно из 37 вы­честь разность, которая задана выражением 12 + 14; итак, а =-= 37 — (12 + 14); б) вычислим правую часть 12 + 14 => 26, полу­чаем уравнение 37 — а = 26, теперь найдем вычитаемое. При ре­шении уравнений второго вида учащийся, установив последнее действие, выполнив которое получает 24, выявляет компоненты

этого действия и выясняет, как они выражены. Да*лее может идти двумя путями, как и при решении первого уравнения. Аналогичный подход и к решению уравнения последнего вида.

Умение решать уравнения учащиеся начальных классов при­меняют при решении задач. В I и во II классах с помощью уравне­ний решаются только простые задачи.

В I классе учащийся при составлении уравнения по простой задаче в первую очередь должен представить ту жизненную ситуа­цию, которая описывается в задаче, после чего становится возмож­ным перевести задачу на язык математических символов.

Например: 1) У Нины было несколько тетрадей в линейку и 3 в клетку. Всего у нее было 8 тетрадей. Сколько тетрадей в линей­ку было у Нины?

х + 3 = 8 х = 8 — 3 х — 5 Ответ: 5 тетрадей в линейку.

2) От куска материи отрезали 2 м на платье, после чего в куске осталось 27 м. Сколько метров материи было в куске первоначаль­но?

х — 2 = 27

х = 27 + 2

х = 29 О т в е т: 29 м.

Во II классе с помощью уравнений решаются только простые задачи, но не только с применением действий первой ступени, а на умножение и деление. При решении самого уравнения здесь учащиеся сразу опираются на правила нахождения неизвестного компонента.

Приведем примеры таких задач:

1) Какое число надо увеличить в 5 раз, чтобы получить 40?

х * 5 = 40 х = 40 : 5 х = 8 Ответ: Искомое число 8.

2) Несколько тетрадей раздали 4 ученикам, каждый из них получил по 6 тетрадей. Сколько всего раздали тетрадей?

Х: 4 = 6 Х = 6- 4 Х — 24 Ответ: Было 24 тетради.

В третьем классе еводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени.

Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каж­дого компонента. В связи с этим целесообразно приучать учащихся читать уравнения разными способами. Например, (с—18)+7=9 можно прочитать так: «К разности неизвестного числа и 18 при-

250

251

базили 7, получилось 9», или так: «Первое слагаемое выражено разностью неизвестного числа и 18, второе слагаемое 7, а сумма 9».

У учащихся надо с первых же шагов знакомства о уравнениями вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного зна­чения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить -ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения.

Полная запись решения уравнения выглядит, примерно, так:

20 — (х + 6) = 4

х + 6 = 20 — 4

х + 6 = 16

х = 16 — 6 П р о в е р к а: 20 — (10 + 6) = 4, 4 = 4,

х = 10 Ответ: х— 10.