5.Дифракция света. Принцип Гюгенса. Метод Зон Фринеля

Я вление проникновения световых волн в область гео­метрической тени, огибания ими препятствий и вообще откло­нение их от прямолинейного распростра­нения было названо дифракцией света. Дифракция явилась еще од­ним подтверждением справедливо­сти волновой теории света. принцип Гюйгенса помог объяснить дифракцию качественно. Поскольку вторичные источники излучают сферические волны, световое возмущение будет распространяться по всем направлениям. Значит, каждая точка отверстия будет источником сферической волны, и свет за отверстием может идти по всем направлениям, т.е. отклоняться от прямолинейности. Французский физик О. Френель, развивая идеи Гюйгенса, дал метод количественного расчета дифракции, названный принципом Гюйгенса-Френел.

1. Любой источник света S0 можно заменить эквивалентной системой фиктивных (вторичных) источников, находящихся на какой-либо его волновой поверхности S.

2. Все вторичные источники волновой поверхности S излучают когерентные волны, которые накладываются во всех точках пространства и интерферируют между собой.

3 . Каждый вторичный источник излучает преимущественно в направлении внешней нормали n к dS. Амплитуда вторичной волны в направлении r (где r – расстояние от dS до точки наблюдения В) уменьшается с увеличением угла α между r и нормалью n к dS (рис. 3.2). Она становится равной нулю при α ≥ π/2, т.е. излучение внутрь поверхности не распространяется. От каждого участка dS в точку В приходит световое колебание

Здесь Е0 – амплитудное значение светового вектора, С(α)- коэффициент, зависящий от угла α (С(0) = 1, С(π/2)= 0). Тогда результирующий световой вектор от всей волновой поверхности S в точке В равен

Данный интеграл по поверхности называют интегралом Френеля. Современная теория Максвелла электромагнитных волн для точного решения задачи о распространении световых волн при наличии препятствий приводит к выражению аналогичному интегралу Френеля. Это математическое выражение позволяет вычислять световое возмущение в любой точке наблюдения. Недостатком данного принципа явля­ется сложность его практического применения.

4. Если часть волновой поверхности закрыть непрозрач­ным экраном, то вторичные волны излучаются только откры­тыми участками поверхности.

Метод зон Френеля

Для упрощения расчета результирующей амплитуды светового колебания в точке наблюдения Френель предложил метод деления фронта волны на зоны. Пусть S– точечный источник света, P – произвольная точка наблюдения, в которой необходимо определить амплитуду Е световых колебаний. Фронт волны в определенный момент времени есть сфера S’ (рис. 3.3). Зоны Френеля строятся таким образом, что расстояния от краев двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половину длины световой волны λ/2. Обозначим расстояние от точки P до волнового фронта OP = L, тогда границей центральной или первой зоны будут точки поверхности S’, находящиеся на расстоянии L+λ/2 от точки P. Эти точки расположены на поверхности по окружности. Точки сферы S’, находящиеся на расстоянии L+2λ/2 от P, образуют границу второй кольцевой зоны, на расстоянии L+3λ/2 – границу третьей и т.д.

Обозначим Е1 амплитуду волны, пришедшей в точку P от первой зоны, Е2 – от второй и т.д. Колебания, приходящие в точку В от двух соседних зон, противоположны по фазе, так как их разность хода равна λ/2, они будут ослаблять друг друга. Напомним, что при прохождении волной пути в половину длины волны ее фаза меняется на противоположную. Поэтому при суммировании амплитуды нечетных зон будем брать со знаком «+», а четных – со знаком «-». В итоге результирующая амплитуда, т.е. амплитуда колебаний от всех зон в точке P будет равна

Е = Е1 – Е2 + Е3 – Е4 +…+ Еn.

С увеличением номера зоны амплитуда колебаний монотонно убывает, так как увеличивается расстояние от зоны до точки P и угол α между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку наблюдения, поэтому по абсолютной величине Е1 > Е2 > Е3 > Е4 >…> Еn.

Из-за того, что число зон n очень велико (например, для λ= 500 нм и L = 10 см n = 80000), амплитуды двух соседних зон мало отличаются друг от друга по величине и с большой степенью точности можно предположить, что

. Если представить амплитуду любой нечетной зоны, например Е1 как , то выражение для результирующей амплитуды запишется в виде

Согласно вышеприведенным рассуждениям все выражения в скобках обращаются в нуль и Е ≈ Е1/2. Результирующая амплитуда светового колебания от всей волновой поверхности в точке наблюдения равна половине амплитуды, приходящей от одной центральной зоны. Если на пути волны поставить непрозрачный экран, оставляющий открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда светового колебания в точке P будет равняться Е1, т.е. возрастет в два раза. Если экран открывает две зоны, их амплитуды будут «гасить» друг друга и в точке P будет наблюдаться минимум интенсивности. Если открыты три зоны, третья зона останется не скомпенсированной и в точке P будет наблюдаться максимум, и т.д. Таким образом, если на волновой поверхности открыто нечетное число зон Френеля, в точке наблюдения будет светло, если четное – темно. Если между волновой поверхностью и точкой P поставить специальную пластинку, которая закрывала бы все четные (или нечетные) зоны, то интенсивность в точке P резко возрастает. Такая пластинка называется зонной и действует подобно обирающей линзе.

Различают дифракцию Френеля – это дифракция в сходящихся или расходящихся лучах и дифракцию Фраунгофера – в параллельных лучах. Разберем эти случаи более подробно.

6.Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.

1. Пусть источник света S0 испускает сферическую волну. Поставим на пути волны непрозрачный экран Э1 с круглым отверстием АВ таким образом, чтобы перпендикуляр, опущенный из S0 на экран, проходил через центр отверстия (рис. 3.4 а). Для наблюдения дифракционной картины параллельно Э1 на расстоянии L от него поместим экран Э2. Используя метод зон Френеля, разобьем открытую часть волнового фронта АВ на зоны и определим результирующую амплитуду светового вектора в точке Р. Число открытых зон Френеля m зависит от размеров отверстия АВ, расстояния L и длины волны света λ. Если m – нечетное число, суммарная амплитуда в точке Р будет равна Е1/2 + Еm/2, что соответствует интерференционному максимуму На рис. 3.4 б показано, как меняется интенсивность света на экране Э2 в зависимости от расстояния r от центра экрана P. Следовательно, наличие преграды с круглым отверстием усиливает освещенность в точке Р, т.к. без экрана амплитуда в данной точке была бы равна Е1/2. Если m – четное число, результирующая амплитуда в точке Р:

Поскольку амплитуды двух соседних зон Френеля мало отличаются друг от друга, можно предположить, что

и тогда результирующая амплитуда запишется в виде:

и в точке Р будет наблюдаться интерференционный минимум (рис. 3.4 в). Чтобы найти результирующую амплитуду в другой точке экрана, например, Р’, необходимо разбить фронт волны на зоны с центром в точке О’ (рис. 3.4. а). В этом случае часть первоначальных зон будет закрыта экраном Э1.

Амплитуда в точке Р’ будет определяться не только числом зон, уклады­вающихся на отверстии, но и степенью частичного перекрыва­ния зон. Исходя из соображений симметрии, дифракционная картина должна состоять из чередующихся светлых и темных колец, что и было подтверждено экспериментально.

По мере удаления от центра экрана интенсивность максимумов убывает. Если S0 – источник белого света, светлые кольца имеют радужную окраску.

2. Пусть между источником света S0 и экраном Э размещен непрозрачный диск АВ, параллельный экрану (рис. 3.5). Пунктирная прямая S0Р перпендикулярна диску и проходит через его центр. Вновь воспользуемся методом зон Френеля. Пусть диск закрывает m зон, тогда амплитуда первой действующей зоны будет Еm+1. С нее и следует начинать построение зон. В результате суммирования амплитуд всех открытых зон мы получаем, что в точке Р амплитуда Е = Еm+1/2. Таким образом, при дифракции на круглом непрозрачном диске в центре экрана получается светлое пятно (т.к. интенсивность здесь отлична от нуля), окруженное чередующимися концентрическими кольцами минимумов и максимумов.

7. Дифракция Фраунгофера на прямоугольной щели

Дифракция Фраунгофера, имеющая большое практическое значение, наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию . Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина щели была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной а (рис. 261, а). Оптическая разность хода между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении j,

где F- основание перпендикуляра, опущенного из точки М на луч ND.

Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля , имеющие вид полос, параллельных ребру М щели . Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна l/2, т. е. всего на ширине щели уместится D:l/2 зон. Так как свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с волновым фронтом; следовательно, все точки волнового фронта в плоскости щели будут колебаться в одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.

Из выражения вытекает, что число зон Френеля , укладывающихся на ширине щели , зависит от угла j. От числа зон Френеля , в свою очередь, зависит результат наложения всех вторичных волн. Из приведенного построения следует, что при интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасят друг друга. Следовательно, если число зон Френеля четное, то

и в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота), если же число зон Френеля нечетное, то

и наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной некомпенсированной зоны Френеля . Отметим, что в направлении j = 0 щель действует как одна зона Френеля , и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке В0 наблюдается центральный дифракционный максимум.

Из условий (179.2) и (179.3) можно найти направления на точки экрана, в которых амплитуда (а следовательно, и интенсивность) равна нулю (sinjmin = ± ml/a) или максимальна sinjmin = ± (2m + 1) l/(2a).Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции (дифракционный спектр), приведено на рис. 261, б. Расчеты показывают, что интенсивности в центральном и последующих максимумах относятся как 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : ..., т. е. основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Из опыта и соответствующих расчетов следует, что сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а интенсивность уменьшается (это, естественно, относится и к другим максимумам). Наоборот, чем щель шире (а > l), тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При а ≫l в центре получается резкое изображение источника света, т. е. имеет место прямолинейное распространение света.

Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны l, поэтому рассмотренная выше дифракционная картина имеет место лишь для монохроматического света. При освещении щели белым светом центральный максимум наблюдается в виде белой полоски; он общий для всех длин волн (при j = 0 разность хода равна нулю для всех l). Боковые максимумы радужно окрашены, так как условие максимума при любых m различно для разных l. Таким образом, справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы первого (m = 1), второго (m = 2) и других порядков, обращенные фиолетовым краем к центру дифракционной картины. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.