Расчёт скоростей и ускорений
Прямая задача о скоростях и ускорениях состоит в определении абсолютных величин линейных скоростей и ускорений точек звеньев манипулятора и абсолютных угловых скоростей и ускорений звеньев, при заданных относительных величинах.
Рисунок 3 – О тносительные кинематические параметры
четырёхзвенного манипулятора.
В состав кинематической цепи манипулятора (рисунок 3) входят четыре подвижных звена, вращательные В, E и поступательные А,С кинематические пары V класса. Их положение в пространстве, а также положение точки D схвата характеризуется длинами звеньев, линейными и угловыми обобщенными координатами (расчетные значения), известны линейные и угловые относительные скорости и ускорения звеньев руки (таблицы 1).
Определим угловые скорости всех звеньев руки манипулятора, а также линейные скорости и ускорения точек А, B, C, Е, D.
Известны линейные
и угловые относительные скорости и
ускорения звеньев:
;
;
;
;
;
;
;
;
1. Проекции единичных
векторов
и
соответствующих осей шарниров B
и E
на оси системы координат
описываются матрицами:
(10)
2. Определим угловые скорости и ускорения звеньев.
Для 2 звена определяем векторы угловой скорости и углового ускорения и записываем соответствующие матрицы:
(11)
Для 3 звена угловую скорость и ускорение определяем с помощью векторных уравнений:
(12)
Следовательно
Векторы относительной угловой скорости и относительного углового ускорения, характеризующие закон вращения звена 4 относительно звена 3, определяют по формулам:
(13)
Запишем соответствующе
матрицы для
и
,
воспользовавшись уравнением (13) и данными
из таблицы 1.
;
;
Для определения
угловой скорости
и углового ускорения
четвертого звена составляем векторные
уравнения:
; (14)
; (15)
Определяем угловую скорость 4 звена.
Абсолютное значение
Определяем угловое ускорение 4 звена.
Абсолютное значение
Планы угловых скоростей и ускорений представлены на рисунках 4 и 5
Рисунок 4 – План угловой скорости
Рисунок 5 – План
угловых ускорений.
3. Определим линейных скоростей и ускорений кинематических пар и схвата.
Для этого, сначала,
определим проекций векторов
на оси координат
.
Запишем соответствующие матричные уравнения:
(16)
;
(17)
Подставив определяем
проекцию вектора
:
; (18)
(19)
(20)
Определяем проекцию
вектора
:
Определим линейные скорости кинематических пар:
Для определения скорости точки С используется векторное уравнение:
;
Скорость точки D найдем из векторного уравнения:
; (21)
Здесь
.
Далее определяем
:
Подставив все получаем линейную скорость кинематической пары:
Для определения скорости точки E используется векторное уравнение:
(22)
Затем находим линейное ускорение точки E
Вычислим абсолютные значения линейных скоростей кинематических пар:
Рассчитаем ускорения кинематических пар и схвата.
Ускорение точки B:
Ускорении точки С:
Ускорение точки D найдем из уравнения:
(23)
где
;
Определим ускорение точки D:
Найдем ускорение точки E:
(24)
Ускорение Кориолиса
так как угол между векторами
и
равен 0.
Получаем ускорение точки D
Вычислим абсолютные значения линейных ускорений:
Планы линейных скоростей и ускорений представлены на рисунках 6, 7
Рисунок 6 – План линейных скоростей
Рисунок 7 – План линейных ускорений.