12. Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации однородного флюида

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации используем уравнение неразрывности (1.19) и уравнение движения, в котором не учитывается сила тяжести (2.9), в котором не учитывается сила тяжести. введем функцию следующим образом:дифференциал функции равен , а сама функция давления принимает вид соответствующего интеграла . Функция называется функцией Лейбензона. Выполняются следующие равенства

, , (2.43). Из (2.43) выводим скалярные равенства , , , (2.44). Из уравнения движения (2.9) и (2.44) находим , , , (2.45). И наконец подставляя (2.45) в уравнение неразрывности (1.11) выводим Для установившейся фильтрации

В частных случаях фильтрации когда проницаемость среды k и - динамическая вязкость флюида постоянны уравнение неустановившейся фильтрации имеет вид

13. Уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости

Уравнения установившейся фильтрации (для которой плотность не зависит от времени) жидкости, находящейся под действием силы тяжести в декартовых координатах на основании равенств (з. Дарси при малых скоростях) (2.17), (1.19), можно записать в виде (2.59). Если жидкость несжимаема, обладает постоянной вязкостью и грунт однороден, то можно ввести функцию потенциала скоростей вида . Относительно функции уравнение (2.59) обращается в уравнение Лапласа , (2.61) Вводя понятие массовой скорости, равной произведению (  ) и используя закон Дарси выпишем уравнение вида . Следовательно, массовая скорость представляет собой потенциальный вектор. . Функция = (x,y,z), как сказано ранее, удовлетворяет уравнению Лапласа. В общем случае функция = является функцией криволинейных координат и удовлетворяет уравнению Лапласа, записанному в тех же координатах.

14. Уравнения установившейся фильтрации сжимаемой жидкости. Фильтрация газа

При фильтрации газа, плотность которого мала, силы тяжести незначительны и, следовательно, ими можно пренебречь. Тогда уравнение (2.59) представляется следующим образом Предположим, что , k, - зависят только от давления p. В этом случае, как и ранее, можно ввести некоторую функцию позволяющую упростить процесс нахождения решения. С этой целью вводим функцию Лейбензона (2.42) и находим . Так как массовая скорость фильтрации в рассматриваемом случае подчиняется линейному закону Дарси, то имеем равенство . Функция Лейбензона как следует из (2.59) удовлетворяет уравнению Лапласа.

15. Простейшие граничные условия, записанные через потенциал скорости

Пусть движение жидкости установившееся, а сама жидкость несжимаема. Границей области фильтрации является непроницаемая поверхность. Вдоль этой поверхности нормальная составляющая скорости должна равнятся нулю . Используя равенство (2.54) запишем условие на непроницаемой поверхности в виде . Аналогично используя (2.54) запишем условие на свободной поверхности в виде . Но так как переменное s направлено на поверхности L1, то из последнего равенства следует, что на границе свободной жидкости потенциал сохраняет постоянное значение, т.е. Условия на границе раздела грунтов с различными проницаемостями, если определяется из (2.25) то можно записать в виде , , (2.70) где 1, 2 - потенциалы скоростей в областях с соответствующими проницаемостями k1, k2, а коэффициент .