- •11) Функция распределения (ф.Р.) одномерной с.В. И её свойства.
- •23) Законы распределения отдельных с.В., входящих в систему. Условные з.Р. Зависимость с.В.
- •24) Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
- •25) Нормальный закон на плоскости
- •29) Математическое ожидание и дисперсия неслучайной величины. Вынос постоянного множителя.
- •30) Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин.
- •31) Математическое ожидание и дисперсия произведения случайных величин.
- •35) Системы произвольного числа нормальных законов на плоскости. Корреляционная матрица.
- •36) Матожидание и дисперсия для линейной функции случайных аргументов.
- •37) Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
- •38) Теорема Маркова.
- •39) Теорема Чебышева
- •40) Теорема Бернулли.
- •45) Статистические оценки матожидания и дисперсии. Метод моментов.
- •46) Доверительная вероятность. Доверительный интервал.
- •47) Аппроксимация статистических рядов.
- •48) Критерий согласия Пирсона.
- •49) Критерий согласия Колмогорова
- •50) Случайные процессы.
23) Законы распределения отдельных с.В., входящих в систему. Условные з.Р. Зависимость с.В.
Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин входящих в систему. Для того чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему, нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине. Условным законом распределения величины X, входящей в систему (X,Y), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение y.
Теоремой умножения законов распределения: Плотность распределения системы двух величин равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение, т.е. f(x,y) = f(y)f(x|y).
Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина X.
Для непрерывных случайных величин условие независимости Y от X может быть записано в виде: f(y)f(x|y)= f(y).
24) Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
Начальным моментом порядка k, s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения на .
Начальным моментом порядка k, s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин.
Характеристика называется корреляционным моментом (иначе — «моментом связи») случайных величин , .
Для прерывных случайных величин корреляционный момент выражается формулой а для непрерывных - формулой
Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Поэтому для характеристики связи между величинами (X,Y) в чистом виде переходят от момента Kxy к безразмерной характеристике .
25) Нормальный закон на плоскости
Так как система двух случайных величин изображается случайной точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто называют «нормальным» законом на плоскости.
В общем случае плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой
.
Этот закон зависит от пяти параметров: и . Величина называется условным математическим ожиданием величины y при данном x. Зависимость можно изобразить на плоскости xOy, откладывая условное математическое ожидание по оси ординат. Получится прямая, которая называется линией регрессии Y на X. Аналогично прямая есть линия регрессии X на Y. Линии регрессии совпадают только при наличии линейной функциональной зависимости Y от X. При независимых X и Y линии регрессии параллельны координатным осям.
26) Расчет вероятности попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными осям, в эллипс рассеивания и в малую цель для нормального з.р.
Попадание в прямоугольник:
Попадание в эллипс:
Попадание в малую цель эквивалентно попаданию точки в область взрыва и в общем виде считается по формуле
27) Системы n случайных величин.
Плотность распределения такого закона имеет вид:
, где С = K-1.
28) Функции случайных аргументов. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ аргументов при известном з.р..
Рассмотрим такую задачу: случайная величина есть функция нескольких случайных величин : .
Зная закон распределения g(y) величины Y, можно легко определить числовые характеристики; они находятся по формулам: .
Однако задача нахождения закона распределения g(y) величины y довольно сложна.
Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая - функции одного аргумента - и поставим следующую задачу.
Имеется случайная величина X с заданным законом распределения; другая случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью: .
Требуется, не находя закона распределения величины Y, определить ее математическое ожидание. Математическое ожидание величины Y можно определить по формуле для дискретной и для непрерывной с.в.
Для системы с.в.
Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой
в случае произвольного числа аргументов, в аналогичных обозначениях: