29) Математическое ожидание и дисперсия неслучайной величины. Вынос постоянного множителя.
Если c - неслучайная величина, то M[c]=c;.
Сформулированное
свойство является достаточно очевидным;
доказать его можно, рассматривая
неслучайную величину
как
частный вид случайной, при одном возможном
значении с вероятностью единица; тогда
по общей формуле для математического
ожидания: M[c]=c*1=c;
Если
-
неслучайная величина, то
.
Доказательство.
По определению дисперсии
.
Если - неслучайная величина, а - случайная, то
,
Доказательство.
а) Для прерывных величин
.
б) Для непрерывных величин
.
Доказательство. По определению дисперсии
.
Следствие
,
Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы.
30) Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин.
Доказательство.
а)
Пусть (X,Y) -
система прерывных случайных величин.
Применим к сумме случайных величин
общую формулу (10.1.6) для математического
ожидания функции двух аргументов:
.
Ho
представляет
собой не что иное, как полную вероятность
того, что величина
примет
значение
:
;
следовательно,
.
Аналогично
доказывается, что
.
Пусть
-
система непрерывных случайных величин.
;
Аналогично
.
Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
31) Математическое ожидание и дисперсия произведения случайных величин.
Математическое
ожидание произведения двух случайных
величин равно произведению их
математических ожиданий плюс корреляционный
момент:
.
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
,
где
;
.
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
,
Если
случайные величины (X,Y) некоррелированны
,
то формула принимает вид:
,
т. е. математическое ожидание произведения
двух некоррелированных случайных
величин равно произведению их
математических ожиданий.
Теорема
умножения математических ожиданий
обобщается и на произвольное число
сомножителей, но только в случае
независимости с.в. -
.
32) Закон распределения функции случайных аргументов (общий вид)
См. 33)
33) Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента
Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f(X). Другая случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью: .
Требуется найти плотность распределения величины Y.
Если
функция
на
участке (a,b) монотонно
возрастает, то когда величина X принимает
различные значения на участке (a,b),
случайная точка (X,Y) перемещается
только по кривой
;
ордината этой случайной точки полностью
определяется ее абсциссой, а значит
.
Выражая
получим
.
Дифференцируя
интеграл по переменной y,
получим:
34) Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения
Имеется система двух
случайных величин (X,Y) с
плотностью распределения f(x,y).
Рассмотрим сумму случайных величин X и
Y:
,
и найдем закон распределения величины
Z. Для этого построим на
плоскости xOy линию,
уравнение которой x+y=z.
Это - прямая, отсекающая на осях отрезки,
равные z. Прямая x+y=z делит
плоскость xOy на две части;
правее и выше ее X+Y>z;
левее и ниже X+Y<z.
Область D в данном
случае - левая нижняя часть плоскости
xOу. Имеем
.
Дифференцируя это выражение по переменной
,
входящей в верхний предел внутреннего
интеграла, получим:
.
Из соображений симметричности задачи
относительно X и Y можно
написать другой вариант той же формулы:
Особое практическое значение имеет случай, когда складываемые случайные величины (X,Y) независимы. Тогда говорят о композиции законов распределения. Произвести композицию двух законов распределения это значит найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, подчиненных этим законам распределения.
Для обозначения композиции законов
распределения часто применяют
символическую запись:
,
где
-
символ композиции.