47) Аппроксимация статистических рядов.

Одним из основных методов аппроксимации статистических рядов является м.н.к.

Пусть производится опыт, целью которого является, исследование зависимости некоторой физической величины y от физической величины x. Предполагается, что величины x и y связаны функциональной зависимостью.

Вид этой зависимости и требуется определить из опыта.

Предположим, что в результате опыта мы получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости y от x.

Метод основан на минимизации суммы квадратов отклонений наблюденных значений y_i от φ(x_i):

.

Перейдем к задаче определения параметров , исходя из принципа наименьших квадратов. Пусть имеется таблица экспериментальных данных (табл. 14.8.1) и пусть из каких-то соображений (связанных с существом явления или просто с внешним видом наблюденной зависимости) выбран общий вид функции , зависящей от нескольких числовых параметров ; именно эти параметры и требуется выбрать согласно методу наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов отклонений  от  была минимальна. Запишем  как функцию не только аргумента , но и параметров  .   Требуется выбрать  так, чтобы выполнялось условие: .    

Найдем значения , обращающие левую часть выражения (14.8.6) в минимум. Для этого продифференцируем ее по  и приравняем производные нулю:

48) Критерий согласия Пирсона.

Критерий согласия – Пирсона. Этот метод применим как к непрерывным, так и к дискретным распределениям. Кроме того, допускается в гипотетическом распределении использовать в качестве значений параметров их оценки.

В соответствии с этим методом область возможных значений случайной величины разбивается на k разрядов и для каждого из них находится количество m элементов выборки, попавших в разряд, и вычисляется, в соответствии с генерируемым распределением, математическое ожидание этого числа , где – вероятность попадания в i-й разряд. Пирсон показал, что случайная величина, определяемая выражением при стремится к – распределению с (k-1)-й степенью свободы, если гипотетическое распределение задано полностью. Если же s параметров гипотетического распределения заданы их оценками, найденными по той же выборке, что и , то число степеней свободы критерия равно k-s-1. Выборочное распределение признается согласующимся с генерируемым с доверительной вероятностью q, если , где – квантиль уровня (1-q) распределения с (k-s-1)-й степенью свободы, а – экспериментальное значение критерия.

49) Критерий согласия Колмогорова

Этот метод очень прост, но его применение требует выполнения двух ограничений: во-первых, распределение должно быть непрерывным и, во-вторых, параметры проверяемого распределения должны быть известны и не могут быть заменены их оценками, получаемыми на основе наблюдений. В качестве меры близости статистического (выборочного) и генерируемого распределений принимается максимальное значение разности их функций распределения

где – выборочная функция распределения; – генерируемое распределение.

Колмогоровым было показано, что при увеличении объема выборки n, распределение случайной величины стремится к виду

На этом основании с доверительной вероятностью q можно утверждать, что выборочное распределение согласуется с гипотетическим, если

где – квантиль распределения уровня (1-q); –экспериментально вычисленное значение .

При использовании этим критерием необходимо иметь в виду, что распределение Колмогорова F(λ) является предельным при и, следовательно, надежные суждения о качестве генерации можно делать лишь по выборкам достаточно большого объема.