- •Электромагнетизм Статическое магнитное поле в вакууме
- •Магнитное поле Вектор магнитной индукции
- •Закон Био-Савара-Лапласа
- •Магнитное поле прямого тока
- •Магнитное поле на оси кругового тока
- •Магнитное поле равномерно движущегося заряда
- •Закон Ампера Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле
- •Контур с током в магнитном поле
- •Сила Лоренца
- •Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
- •Масс-спектрограф
- •Эффект Холла
- •Циркуляция вектора магнитной индукции
- •Магнитное поле соленоида
- •Магнитное поле тороида
- •Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
Закон Био-Савара-Лапласа
Т оки, текущие по проводникам, создают в окружающем пространстве магнитное поле. Как вычислить магнитное поле произвольного тока? В электростатике мы вначале изучали взаимодействие точечных зарядов (закон взаимодействия – это закон Кулона), затем для определения взаимодействия протяженных заряженных тел применяли принцип суперпозиции, разбивая тела на точечные заряды. В магнитостатике можно использовать тот же прием. Аналогом точечных зарядов являются небольшие по размеру прямолинейные участки проводников с током. Оказывается, что если размеры таких проводников малы, создаваемое ими магнитное поле не зависит от свойств материала проводника, а определяется лишь длиной элемента проводника и током в нем. Изучение магнитного поля, образованного небольшими проводниками с током, можно проводить и на уровне абстрактных моделей, в основе которых так называемые элементы тока. Важно знать закон, по которому вычисляется магнитное поле, созданное элементом тока. Этот закон был установлен в конце 19-го века и назван в честь ученых, открывших его, законом Био–Савара–Лапласа. Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длиной , была получена формула
,
где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц; - вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, в которую течет ток; - вектор, проведенный от элемента тока в точку, в которой определяется ; - модуль этого вектора.
В системе СИ , следовательно
(3)
Здесь – магнитная постоянная.
Из этого закона легко определить направление вектора : он должен быть направлен перпендикулярно плоскости, в которой располагаются векторы и , причем его направление совпадает с направлением правого винта, который вращается по кратчайшему пути от к .
Магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля. Модуль определяется как
, (4)
где - угол между векторами и .
Характеристики магнитного поля, создаваемого любыми токами, можно вычислить, применяя закон Био–Савара–Лапласа совместно с принципом суперпозиции. Покажем это на нескольких примерах.
Магнитное поле прямого тока
П усть имеется тонкий, прямой, бесконечно протяженный проводник, по которому течет ток . Вычислим магнитную индукцию в точке А, находящейся на расстоянии от проводника. Выделим элементарный участок тока . Направим радиус-вектор от элемента тока в точку А. Элемент тока создает в точке А магнитное поле с индукцией . Положение на рисунке выбрано произвольно, вектор от любого другого элемента тока в точке А будет иметь одно и то же направление – перпендикулярно плоскости чертежа. Следовательно, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Модуль определяется формулой (3).
Упростим эту формулу, выразив входящие в нее величины через один переменный параметр – угол :
; . В итоге получим:
В итоге получили выражение:
(5)
Для всех элементов тока бесконечно длинного прямого проводника угол изменяется в пределах от 0 до . Проинтегрируем в этих пределах полученное выражение:
Таким образом, магнитная индукция поля бесконечно длинного прямого тока определяется выражением:
(6)
Для прямолинейного проводника конечной длины получим.
У гол изменяется в пределах от 1 до 2 .
Пределы интегрирования поменялись потому, что
Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой концентрические окружности, охватывающие ток.