Магнитное поле соленоида

Используем теорему о циркуляции для расчета магнитного поля соленоида. Соленоид – это проводник, намотанный по винтовой линии на поверхность цилиндрического каркаса. Пусть длинный соленоид с током имеет витков на единицу длины. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно заменить замкнутым витком. На рисунке показаны линии магнитной индукции вне и внутри соленоида. Опыт показывает, что чем длиннее соленоид, тем меньше поле вне него. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено внутри его, а поле снаружи отсутствует. Линии вектора внутри соленоида направлены по оси так, что образуют с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.

Д ля расчета поля внутри длинного соленоида выберем прямоугольный контур АВСДА так, как это показано на нижнем рисунке.

Циркуляцию вектора по замкнутому контуру АВСДА, который охватывает витков, вычислим по формуле:

Интеграл по АВСДА можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, СД и ДА. На участках АВ и СД контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и . На участке ДА контур совпадает с линией магнитной индукции и циркуляция вектора равна . На участке ВС вне соленоида . В итоге получаем:

Итог: , отсюда . Поскольку , то окончательно получим .

Таким образом, поле внутри соленоида однородно (края соленоида не рассматриваем). Произведение называется числом ампервитков соленоида и относится к его характеристикам.

При выводе формулы для магнитного поля соленоида мы допустили некорректность: мы приняли интеграл по внешней части контура равным нулю, несмотря на то, что линии магнитного поля замкнуты и, строго говоря, внешнее поле не равно нулю. Однако это некорректность принципиально на результате не отражается.

Магнитное поле тороида

Тороид – тонкий провод, плотно намотанный на каркас в форме тора (круга, бублика).

В озьмём контур в виде окружности радиуса r_i, центр которого совпадает с центром тора, радиуса r (r₁ < r_i < r₂). В силу симметрии вектор B в каждой точке направлен по касательной к контуру. Следовательно,

Это длина контура, окружность.

Если контур проходит внутри тороида, то он охватывает ток 2rnI (n – число витков на единицу длины). Тогда по теореме о циркуляции вектора B получаем.

Откуда получаем.

А для напряжённости имеем.

Если внутри тороида имеется сердечник, то выражение для индукции магнитного поля примет вид.

Контур вне тороида токов не охватывает, поэтому B = 0 (B 2r = 0).

Для тороида, где r много больше радиуса витка, отношение r/r_i  1, т.е. r  r_i. Для такого тора индукция и напряжённость будут равны.

В тороиде индукция магнитного поля однородна по величине, т.е. по модулю, но его направление в каждой точке различно.

Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

Л инии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости чертежа и вектор B направлен к нам. На элемент тока Il действует сила Ампера.

sin = 1, т.к. угол  между направлением тока и направлением вектора магнитной индукции равен 90⁰. Пусть провод переместился параллельно самому себе на расстояние dx. При этом будет совершена работа.

площадь, которую пересекает проводник.

магнитный поток, пронизывающий эту площадь.

Магнитный поток Ф имеет размерность, [Ф] = 1 Вб = 1 Вс.

Итак, окончательно имеем.

(1)

Работа, совершенная проводником с током при перемещении в магнитном поле, равна произведению тока на магнитный поток, пересечённый этим проводником.

Ф ормула (1) остаётся справедливой, если проводник любой формы движется под любым углом к направлению вектора магнитной индукции B.

Выведем выражение для работы перемещения замкнутого контура с током в магнитном поле.

Рассмотрим прямоугольный контур с током 12341. Вектор магнитной индукции B направлен от нас перпендикулярно плоскости контура. Магнитный поток Ф₁ направлен по нормали к контуру, которая также направлена от нас. Поэтому Ф₁ > 0. Переместим этот контур параллельно самому себе в новое положение 1'2'3'4'1'. Магнитное поле в общем случае может быть неоднородным и с этим контуром будет сцеплён магнитный поток Ф₂. Площадка 432'1'4 расположенная между старым и новым положением контура, пронизывается магнитным потоком Ф'.

Полная работа по перемещению контура с током в магнитном поле равна алгебраической сумме работ, совершаемых при перемещении каждой из четырёх сторон контура.

так как эти стороны при своём перемещении не пересекают магнитного потока (очерчивают нулевую площадь).

Провод 12 пересекает поток Ф' + Ф₁, но движется против сил действия магнитного поля.

И окончательно получаем.

– это изменение магнитного потока, сцеплённого с контуром.

(2)

Работа, совершаемая при перемещении замкнутого контура с током в магнитном поле, равна произведению величины тока на изменение магнитного потока, сцеплённого с контуром.

Выражения (1) и (2) внешне тождественны, но физический смысл величин dФ в них различен. Соотношение (2), выведенное для простейшего случая остаётся справедливым и для контура любой формы в произвольном магнитном поле.

Более того, если контур неподвижен, а меняется индукция магнитного поля, то при изменении магнитного потока на величину dФ, магнитное поле совершает ту же работу.