- •2.Уравнение Бернули
- •3. Теорема Лейбница
- •1.Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •3. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов
- •1. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных для приближенных вычислений
- •2.Методы интегрирования определенных интегралов
- •3. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости
- •1.Производная функции по направлению
- •1. Вывод формулы Тейлора
- •2. Второй признак сравнения знакоположительных рядов
- •3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница.Гамма-функция
- •2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов
Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при неограниченном возрастании их номеров, т. е. существует предел , то:если < 1, то ряд сходится; 2) если > 1, то ряд расходится;3) если = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).Д о к а з а т е л ь с т в о.1. Пусть . Если < 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству < q < 1. В этом случае по определению предела существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение меньше этого числа q, т.е. . Данное неравенство представим в следующем виде . Отношение является отношением последующего члена ряда к предыдущему для бесконечной убывающей геометрической прогрессии , которая сходится, так как знаменатель прогрессии меньше единицы (q < 1). В соответствии с теоремой 8.4 (третий признак сравнения рядов) ряд сходится.
2. Пусть . Тогда существует такое число q, которое больше единицы, но меньше , т. е. . В этом случае существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение больше q, т. е. . Тогда по теореме 8.4 ряд расходится.
Данный признак Даламбера является наиболее простым и часто применяемым. Однако он дает ответ на вопрос о сходимости ряда только в тех случаях, когда ряд достаточно быстро сходится или расходится.
Билет 14.
1. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных для приближенных вычислений
1. Вычисление значений функций и их приращений.Используем то, что полный дифференциал является главной линейной частью приращения функции ( ). Пусть известно значение функции в некоторой точке и имеется точка , находящейся в некоторой достаточно малой окрестности точки . Можно найти приращение функции по формуле .Можно найти также значение этой функции в точке по формуле
.Здесь , приращения независимых переменных,
значения частных производных функции в точке .
2.Методы интегрирования определенных интегралов
При вычислении определенных интегралов используются те же методы, что и при нахождении неопределенных интегралов. Однако, имеются некоторые особенности.1. Замена переменной в определенном интеграле отличается от замены переменной в неопределенном интеграле тем, что в результате замены изменяются пределы интегрирования и нет необходимости выполнять обратную замену. Пусть функция непрерывна на отрезке , функция имеет непрерывную производную на отрезке . Тогда .
Пример 5.2. Найти , где .
Используем интегрирование по частям для нахождения рекуррентной формулы для вычисления интегралов вида при любом n N.
.
Учтем, что , получим
.Получили уравнение относительно интеграла : . Отсюда получаем рекуррентную формулу .